מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בכלכלה: עלות, הכנסה ורווח - כיתה י' 5 יח"ל

עלות הייצור של $x$ יחידות של מוצר היא $C(x)=x^2+4x+100$ ₪ ($x>0$). העלות הממוצעת ליחידה היא $A(x)=\frac{C(x)}{x}$.

מפעל מייצר ומוכר $x$ טונות של חומר ביום, עבור $0\le x\le10$. ההכנסה ממכירת $x$ טונות היא $120x$ אלפי ₪, ועלות הייצור שלהן היא $C(x)=x^3-6x^2+84x+50$ אלפי ₪.

מפעילי אטרקציה קובעים מחיר כרטיס של $p$ ₪, עבור $10\le p\le28$. במחיר זה נמכרים ביום $800-p^2$ כרטיסים. לכל מבקר יש למפעילים הוצאה של $10$ ₪, כך שהרווח מכל כרטיס הוא $p-10$ ₪.

משאית נוסעת מרחק של $400$ ק"מ במהירות קבועה של $v$ קמ"ש. עלות הדלק לשעת נסיעה היא $\frac{v^2}{100}$ ש"ח, והנהג מקבל שכר של $a$ ש"ח לשעת נסיעה. ידוע כי העלות הכוללת של הנסיעה (דלק ושכר) היא הקטנה ביותר כאשר $v=90$ קמ"ש.

חנות מוכרת $1{,}200$ יחידות של מוצר בשנה, בקצב קבוע. את המוצר היא מזמינה מהספק בכמה הזמנות שוות בשנה, בכל הזמנה $x$ יחידות ($0<x\le1200$). כל הזמנה עולה $150$ ₪ (משלוח וטיפול), ללא קשר לגודלה. נוסף על כך, אחסון המוצר עולה $4$ ₪ בשנה לכל יחידה שנמצאת במלאי, ומספר היחידות הממוצע במלאי לאורך השנה הוא $\frac{x}{2}$.

חברה שוקלת קמפיין פרסום בתקציב של $x$ אלפי ₪ ($x\ge0$). לפי הערכה, הקמפיין יוסיף לחברה רווח (לפני תשלום על הפרסום) של $G(x)=\frac{900x}{x+100}$ אלפי ₪. הרווח הנקי מהקמפיין הוא הרווח הנוסף פחות תקציב הפרסום.