מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בשטח ובהיקף: מלבן, משולש וגדר - כיתה י' 5 יח"ל

סכום אורכי הניצבים של משולש ישר זווית הוא $10$ ס"מ. נסמן ב-$x$ את אורך אחד הניצבים (בס"מ).

חקלאי מגדר חלקה מלבנית הצמודה לנהר ישר. לאורך הנהר אין צורך בגדר. גדר פנימית, הניצבת לנהר, מחלקת את החלקה לשתי חלקות. לרשות החקלאי $120$ מטר גדר, והוא משתמש בכולה (שתי הצלעות הניצבות לנהר, הגדר הפנימית והצלע המקבילה לנהר). נסמן ב-$x$ את אורך כל אחת משלוש הגדרות הניצבות לנהר (במטרים).

נתון מלבן $ABCD$.

הנקודה $F$ היא אמצע הצלע $BC$.

$E$ היא נקודה על הצלע $AD$, כך ש-$EF$ מאונך ל-$AD$.

הנקודה $K$ נמצאת על $EF$ כך ש-$EK=KC=12$ ס"מ (ראו סרטוט).

$FC=x$, ונתון כי $FK=\sqrt{144-x^2}$, כאשר $0<x<12$.

במשולש שווה שוקיים אורך כל אחת מהשוקיים 10 ס"מ, ואורך הבסיס $2x$.

חותכים חוט שאורכו $k$ לשני חלקים. מחלק אחד יוצרים משולש שווה-צלעות, ומן החלק האחר יוצרים ריבוע (אורך כל אחד משני החלקים חיובי). נסמן ב-$x$ את אורך צלע המשולש, וב-$S(x)$ את סכום השטחים של שתי הצורות.

$ABCD$ הוא מלבן ששטחו $24$ סמ"ר. הנקודה $E$ היא נקודה פנימית בצלע $AB$ כך ש-$AE=2$ ס"מ, והנקודה $F$ היא נקודה פנימית בצלע $AD$ כך ש-$AF=3$ ס"מ (ראו סרטוט). נסמן $AB=x$.