מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בנפח ובשטח פנים: תיבה פתוחה וגליל - כיתה י' 5 יח"ל

סכום רדיוס הבסיס וגובה של גליל הוא $6$ ס"מ. נסמן ב-$r$ את רדיוס הבסיס (בס"מ). נפח הגליל הוא $V=\pi r^2h$.

מפח ריבועי שצלעו $12$ ס"מ חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ס"מ, ומקפלים את השוליים לתיבה פתוחה מלמעלה (ראו איור).

גליל סגור (בעל בסיס עליון ותחתון) הוא בעל נפח של $16\pi$ סמ"ק. נסמן ב-$R$ את רדיוס הבסיס וב-$h$ את גובה הגליל (בס"מ).

מכל פתוח מלמעלה (בלי מכסה) בצורת תיבה שבסיסה ריבוע, ונפחו $16$ מ"ק. מטר רבוע של חומר לבסיס עולה $40$ ש"ח, ומטר רבוע של חומר לדפנות עולה $10$ ש"ח. נסמן ב-$x$ את אורך צלע הבסיס (במטרים).

לתיבה פתוחה מלמעלה (בלי מכסה) בסיס מלבני שאורכו כפול מרוחבו, ונפחה $V$ סמ"ק. ידוע כי מבין כל התיבות האלה, שטח הפנים (בסיס וארבע דפנות) הקטן ביותר מתקבל כאשר רוחב הבסיס הוא $3$ ס"מ.

מייצרים פחית גלילית סגורה שנפחה $216$ סמ"ק. את המעטפת חותכים ממלבן של פח בלי פחת, אבל כל אחד משני הבסיסים העגולים נחתך מריבוע של פח שצלעו שווה לקוטר הבסיס, ושאריות הריבועים נזרקות. נסמן ב-$r$ את רדיוס הבסיס וב-$h$ את גובה הפחית (בס"מ).