מבחן לדוגמה: בעיות קיצון עם פונקציית שורש - כיתה י' 5 יח"ל

מצאו את המספר $x$ שבעבורו ההפרש $g(x)$ הוא הגדול ביותר, ואת ההפרש הזה. (הדרכה: $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.)

מצאו את $x$ ו-$y$ שעבורם הביטוי $\sqrt{x}+\sqrt{3y}$ מקבל את ערכו הגדול ביותר, ומצאו את הערך הזה.

מצאו את $x$ ו-$y$ שבעבורם המכפלה $xy$ היא הגדולה ביותר, ואת המכפלה הזאת.

מצאו את $x$ ו-$y$ שבעבורם הסכום $x+3y$ הוא הגדול ביותר, ואת הסכום הזה.

מצאו את שיעור ה-$x$ של הנקודה שעבורה המכפלה היא הקטנה ביותר, והראו שהוא אינו תלוי ב-$k$.

נתון כי המכפלה הקטנה ביותר היא $12$. מצאו את $k$.

מצאו את שיעורי הנקודה $A$ שעבורה שיפוע הישר $PA$ הוא הגדול ביותר, ומצאו את משוואת הישר $PA$ במקרה זה.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הישר. (הדרכה: אחרי ההעלאה בריבוע, הוציאו את $(x+1)$ כגורם משותף.)

הנקודה A נמצאת על גרף $f(x)$ בין שתי נקודות החיתוך, ושיעור ה-$x$ שלה הוא $t$ ($-1<t<0$). דרך A העבירו ישר המקביל לציר ה-$y$, החותך את הישר הנתון בנקודה B, וישר המקביל לציר ה-$x$, החותך את הישר הנתון בנקודה C.

הראו כי $AB=2\sqrt{t+1}-2t-2$ וכי $AC=\sqrt{t+1}-1-t$.

מצאו את $t$ שבעבורו סכום האורכים $AB+AC$ מקסימלי, ואת הסכום המקסימלי.