מבחן לדוגמה: קיצון ללא נגזרת: קודקוד הפרבולה ושיקולים איכותניים - כיתה י' 5 יח"ל

מצאו את $x$ ואת $y$ שבעבורם המכפלה $xy$ היא הגדולה ביותר, ואת המכפלה הזאת.

מצאו את $x$ ואת $y$ שבעבורם הסכום $x^2+y^2$ הוא הקטן ביותר, ואת הסכום הזה.

מצאו את המרחק הקטן ביותר בין הנקודה $P$ לבין נקודה על המעגל, ואת שיעורי הנקודה על המעגל שבה הוא מתקבל.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר $y=x-2$, ואת התחום של $t$.

הביעו את אורך הקטע $PQ$ באמצעות $t$, ומצאו את $t$ שבעבורו אורך הקטע $PQ$ הוא הגדול ביותר. מהו האורך הזה?

מצאו את כל ערכי $t$ שבעבורם $PQ=5$, והסבירו מדוע אין ערך של $t$ שבעבורו $PQ=10$.

מצאו את אורכי צלעות המקבילית שעבורם שטחה מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{20}{x^2-4x+9}$. מצאו את הערך הגדול ביותר של $f(x)$, ואת ה-$x$ שבו הוא מתקבל.

נתונה הפונקציה $g(x)=\sqrt{x^2+2x+10}$. מצאו את הערך הקטן ביותר של $g(x)$, ואת ה-$x$ שבו הוא מתקבל.

הביעו את $PA^2+PB^2$ באמצעות $x$, ומצאו את הנקודה $P_1$ שבעבורה $PA^2+PB^2$ הוא הקטן ביותר, ואת הערך הקטן ביותר.

$B'$ היא שיקוף הנקודה $B$ בציר ה-$x$. מצאו את שיעורי $B'$, והסבירו מדוע $PB=PB'$ לכל נקודה $P$ על ציר ה-$x$. חשבו את $P_1A+P_1B$ עבור הנקודה $P_1$ מסעיף א.

מצאו את הנקודה $P_2$ על ציר ה-$x$ שבעבורה הסכום $PA+PB$ הוא הקטן ביותר, ואת הסכום הזה. האם $P_2$ היא הנקודה $P_1$ מסעיף א?