מבחן לדוגמה: התנהגות פולינום באינסוף וסקיצה איכותנית - כיתה י' 5 יח"ל

$f(x)=-2x^5+3x^2-7$

$g(x)=5x^3+x^4-20$

נתון הפולינום $p(x)=x^5+2x^3+x-4$. הראו ש-$x=1$ הוא שורש של $p$, והסבירו מדוע אין לו שורשים ממשיים נוספים.

נתון הפולינום $r(x)=-2x^3+x^2-7$. חשבו את $r(0)$ ואת $r(-2)$, והסבירו מדוע יש ל-$r$ שורש ממשי בין $-2$ ל-$0$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f$ עם הצירים. לכל נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$, קבעו אם הגרף חוצה שם את הציר או רק נוגע בו. נמקו.

מצאו את המעלה ואת המקדם המוביל של $f$, ותארו את ההתנהגות שלו כאשר $x\to\infty$ וכאשר $x\to-\infty$. היעזרו בכך ובסעיף א, וסרטטו סקיצה של גרף $f$.

היעזרו בסקיצה, ומצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של $f$.

כמה שורשים ממשיים יש ל-$p$? לכל שורש, ציינו תחום שבו הוא נמצא. נמקו.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $k$. נמקו.

הסבירו מדוע המעלה של $f$ זוגית ומדוע המקדם המוביל שלו שלילי.

נתון ש-$f$ הוא פולינום ממעלה רביעית. רשמו את $f(x)$ כמכפלת גורמים, ומצאו את המקדם המוביל. בדקו שהתוצאה מתאימה לסעיף א.

נתון הפולינום $g(x)=(x-5)\cdot f(x)$. תארו את ההתנהגות של $g$ כאשר $x\to\infty$ וכאשר $x\to-\infty$, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף $g$ עם הצירים. סרטטו סקיצה של גרף $g$.