מבחן לדוגמה: מספר השורשים הממשיים של פולינום לפי המעלה - כיתה י' 5 יח"ל

מצאו את כל השורשים הממשיים של הפולינום $p(x)=x^3-4x^2-5x$, והסבירו מדוע אין לו שורשים נוספים.

הראו שלפולינום $q(x)=x^4+2x^2+3$ אין שורשים ממשיים.

מצאו את כל השורשים הממשיים של הפולינום $p(x)=(x-2)(x^2+1)$. כמה שורשים ממשיים יש לו?

האם ייתכן שלפולינום ממעלה $3$ אין שורשים ממשיים כלל? נמקו.

נתון הפולינום $p(x)=x^5+2x^3+x-4$. הראו ש-$x=1$ הוא שורש של $p$, והסבירו מדוע אין לו שורשים ממשיים נוספים.

נתון הפולינום $r(x)=-2x^3+x^2-7$. חשבו את $r(0)$ ואת $r(-2)$, והסבירו מדוע יש ל-$r$ שורש ממשי בין $-2$ ל-$0$.

הראו ש-$x=3$ הוא שורש של $f$.

מכיוון ש-$x=3$ הוא שורש, אפשר לרשום $f(x)=(x-3)(x^2+bx+c)$. מצאו את $b$ ואת $c$.

מצאו את כל השורשים הממשיים של $f$. כמה שורשים שונים יש לו? הסבירו מדוע מספר זה קטן מהמעלה של $f$.

כמה שורשים ממשיים יש ל-$p$? לכל שורש, ציינו תחום שבו הוא נמצא. נמקו.

הראו ש-$f(x)=(x^2-13)^2-144$, ומצאו את כל השורשים הממשיים של $f$.

היעזרו בייצוג מסעיף א, ומצאו את הערך המינימלי של $f$ ואת ערכי $x$ שבהם הוא מתקבל.

היעזרו בסעיפים הקודמים, ומצאו כמה שורשים ממשיים שונים יש לכל אחד מהפולינומים: $g(x)=f(x)+144$, $h(x)=f(x)+150$, $k(x)=f(x)-25$. מצאו את השורשים.