דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: הגדרת הנגזרת בנקודה כגבול של קצבי שינוי ממוצעים - כיתה י' 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על הגדרת הנגזרת בנקודה כגבול של קצבי שינוי ממוצעים (מושג הנגזרת), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י' 5 יח"ל
הגדרת הנגזרת בנקודה כגבול של קצבי שינוי ממוצעים
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הערכת הנגזרת בנקודה מקצבי שינוי ממוצעיםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x2−xf(x)=2x^2-x.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של ff בקטע שבין x=1x=1 ל-x=1+hx=1+h עבור h=0.1h=0.1, עבור h=0.01h=0.01 ועבור h=−0.01h=-0.01. על פי התוצאות, העריכו את f′(1)f'(1).

שאלה 2 · הנגזרת בנקודה כגבול של מנת ההפרשיםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x.

הראו כי קצב השינוי הממוצע של ff בקטע שבין x=2x=2 ל-x=2+hx=2+h (כאשר h≠0h\neq0) הוא 7+h7+h. היעזרו בכך ומצאו את f′(2)f'(2) כגבול של קצבי השינוי הממוצעים כאשר h→0h\to0.

שאלה 3 · כמה קרוב הקצב הממוצע לנגזרת?שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x.

הראו כי קצב השינוי הממוצע של ff בקטע שבין x=3x=3 ל-x=3+hx=3+h (כאשר h≠0h\neq0) הוא 2+h2+h. היעזרו בכך ומצאו את f′(3)f'(3). לאחר מכן מצאו את כל ערכי hh שבעבורם קצב השינוי הממוצע בקטע שונה מ-f′(3)f'(3) בפחות מ-0.10.1.

שאלה 4 · מילוי מכל: מקצב ממוצע לקצב רגעישאלת ביניים · בינונית

מכל מתמלא במים. כמות המים במכל (בליטרים) לאחר tt דקות מתחילת המילוי היא W(t)=t2+60tW(t)=t^2+60t, עבור 0≤t≤200\le t\le20.

א.

חשבו את קצב המילוי הממוצע בין הדקה ה-55 לדקה ה-77. ציינו את היחידות.

ב.

הראו כי קצב המילוי הממוצע בין הדקה ה-55 לדקה ה-(5+h)(5+h) הוא 70+h70+h (עבור h≠0h\neq0). בדקו שהביטוי נותן את התוצאה של סעיף א.

ג.

מצאו את קצב המילוי הרגעי ברגע t=5t=5, כלומר W′(5)W'(5), והסבירו מדוע קצב המילוי הממוצע בסעיף א גדול ממנו.

שאלה 5 · מנת ההפרשים נתונה: נגזרת, שיפוע מיתר וערך הפונקציהשאלה קצרה · קשה

על פונקציה ff ידוע: f(2)=1f(2)=1, ולכל h≠0h\neq0 מתקיים

f(2+h)−f(2)h=3h2−h+4\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=3h^2-h+4
א.

מצאו את f′(2)f'(2), ואת שיפוע הישר העובר דרך הנקודות שעל גרף ff שבהן x=2x=2 ו-x=4x=4.

ב.

מצאו את f(1)f(1).

שאלה 6 · מהמיתר למשיק: נקודת החיתוך עם ציר ה-xשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=4−x2f(x)=4-x^2 והנקודה A(1,3)A(1,3) שעל הגרף שלה. הנקודה BB נמצאת על הגרף, ושיעור ה-xx שלה הוא 1+h1+h, כאשר h≠0h\neq0 ו-h≠−2h\neq-2. בסרטוט מתואר המקרה h=1h=1, שבו B(2,0)B(2,0).

AB
א.

הראו כי שיפוע הישר ABAB הוא −2−h-2-h.

ב.

הראו כי הישר ABAB חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=h+5h+2x=\frac{h+5}{h+2}. בדקו את התוצאה עבור h=1h=1.

ג.

כאשר h→0h\to0, הנקודה BB מתקרבת ל-AA והישר ABAB מתקרב למשיק לגרף בנקודה AA. מצאו את הגבול של שיעור ה-xx מסעיף ב כאשר h→0h\to0. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה AA, והראו שהוא חותך את ציר ה-xx בנקודה שמצאתם.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.