מבחן לדוגמה: sin(180°−α)=sinα וזוויות משלימות בבעיות גאומטריות - כיתה י' 5 יח"ל

חשבו את שטח המשולש $ABC$.

חשבו את אורך הצלע $AB$.

במשולש $ABC$ נסמן $\sphericalangle A=\alpha$, $\sphericalangle B=\beta$. נתון: $\sin\alpha=\sin\beta$. הוכיחו שהמשולש $ABC$ שווה-שוקיים.

במשולש $KLM$ נתון: $\sin\sphericalangle K=\frac12$, $\sphericalangle L=40^\circ$. מצאו את $\sphericalangle K$ ואת $\sphericalangle M$.

הביעו את $AC^2-AB^2$ באמצעות $a$, $m$ ו-$\theta$.

נתון: $AB=5$, $AC=7$, $BC=8$. חשבו את אורך הקטע $AD$ ואת הזווית $\theta$.

הוכיחו כי $\frac{BD}{DC}=\frac{AB\cdot\sin\alpha}{AC\cdot\sin\beta}$, והסיקו מכך: אם $AD$ חוצה את $\sphericalangle BAC$, אז $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}$.

הוכיחו כי $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}\le\frac83$, ומצאו את $\alpha$ שבעבורו מתקבל שוויון. מהו גודל הזווית $BAC$ במקרה זה?

נתון כעת כי $AD$ הוא תיכון במשולש $ABC$. מצאו את $\alpha$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

הסבירו מדוע $\cos\sphericalangle ADC=-\cos\beta$, והביעו את $AC^2$ באמצעות $\cos\beta$ בשתי דרכים: מהמשולש $ABC$ ומהמשולש $ADC$.

מצאו את $\beta$ ואת אורך האלכסון $AC$.

חשבו את שטח המרובע $ABCD$.