מבחן לדוגמה: קיצון ללא נגזרת: תכונות הפונקציות הטריגונומטריות - כיתה י' 5 יח"ל

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המעוין, ובאיזו זווית $\theta$ הוא מתקבל? איזו צורה מתקבלת אז?

הביעו את שטח המשולש באמצעות $\theta$. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי, ובאיזו זווית $\theta$ הוא מתקבל?

מצאו את כל הזוויות $\theta$ שבעבורן שטח המשולש הוא $20$.

הראו כי שטח המלבן הוא $50\sin\theta$. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי, ואיזה מלבן מתקבל אז?

מצאו את כל הערכים של $\theta$ שבעבורם שטח המלבן הוא $25$.

הביעו באמצעות $\theta$ את $AP^2$.

מצאו את המרחק הקטן ביותר ואת המרחק הגדול ביותר בין $A$ לבין $P$, ואת הזווית $\theta$ בכל אחד מהמקרים.

מצאו את $\theta$ שבעבורו $AP=2\sqrt{13}$. הראו כי במצב זה שטח המשולש $AOP$ הוא הגדול ביותר האפשרי, וחשבו את השטח הזה.

הוכיחו כי שטח המרובע $OAPB$ אינו עולה על $8\sqrt2$, ומצאו את $\theta$ שבעבורו השטח שווה ל-$8\sqrt2$.

הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}$.

הוכיחו כי $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}\le\frac83$, ומצאו את $\alpha$ שבעבורו מתקבל שוויון. מהו גודל הזווית $BAC$ במקרה זה?

נתון כעת כי $AD$ הוא תיכון במשולש $ABC$. מצאו את $\alpha$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).