דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייה - כיתה י"א 3 יח"ל

6 שאלות פתוחות על פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייה (חזרה לבגרות: מודל ליניארי ופרבולה בהקשר), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 3 יח"ל
פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייה
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייהשאלה קצרה · קלה

מסלול זרם המים במזרקה מתואר על ידי הפונקציה y=−0.25x2+2xy=-0.25x^2+2x, כאשר xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת היציאה של המים על פני הבריכה, ו-yy הוא הגובה (במטרים) של זרם המים מעל פני הבריכה. בתוך הבריכה עומד פסל שגובהו 2.52.5 מטרים מעל פני המים, במרחק אופקי של 66 מטרים מנקודת היציאה (הקטע PQPQ בסרטוט).

PQ

הראו כי זרם המים עובר מעל הפסל, ומצאו בכמה מטרים מעל ראש הפסל הוא עובר.

שאלה 2 · פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייהשאלה קצרה · קלה

קפיצה של דולפין מעל פני המים מתוארת על ידי הפונקציה y=−x2+4xy=-x^2+4x, כאשר xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מהנקודה שבה הדולפין יצא מהמים, ו-yy הוא הגובה (במטרים) של הדולפין מעל פני המים.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xx. מה המרחק האופקי בין הנקודה שבה הדולפין יצא מהמים לבין הנקודה שבה הוא חזר למים?

ב.

מצאו את הגובה המרבי של הדולפין מעל פני המים.

שאלה 3 · קפיצת דולפין: נקודות חיתוך, גובה מרבי ותחום עלייהשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפרבולה: f(x)=−0.4x2+2xf(x)=-0.4x^2+2x.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xx.

ב.

דולפין קופץ מן המים בבריכה של פארק ימי וחוזר אליה. החלק החיובי של הפרבולה מתאר את מסלול הקפיצה של הדולפין מעל פני המים.

ציר ה-xx מתאר את המרחק האופקי (במטרים) מהנקודה שבה הדולפין יצא מן המים, וציר ה-yy מתאר את הגובה (במטרים) של הדולפין מעל פני המים.

פני המים בבריכה הם בגובה y=0y=0.

מצאו את שיעורי הנקודה שבה הדולפין מגיע לגובה מקסימלי.

ג.

בעבור אילו ערכי xx הדולפין נמצא בעלייה?

שאלה 4 · פרבולה בהקשר: סכום הכסף לסדנת צילוםשאלה מלאה · בינונית

קבוצה של 1616 משתתפים נרשמה לסדנת צילום. כל משתתף היה צריך לשלם 120120 ₪.

המדריך הסכים שלכל משתתף נוסף שיצטרף לסדנה, הוא יוזיל את המחיר ב-33 ₪ לכל משתתף בסדנה.

(לדוגמה, אם יצטרפו 44 משתתפים, כל אחד ישלם 4⋅3=124\cdot3=12 ₪ פחות.)

סמנו ב-xx את מספר המשתתפים הנוספים (מעבר ל-1616 המשתתפים) שישתתפו בסדנה.

א.
(1)

במידה ולא יתווספו משתתפים, מעבר ל-1616 המשתתפים, מה סכום הכסף שייאסף לסדנה?

(2)

במידה וישתתפו בסדנה 2121 משתתפים (55 בנוסף ל-1616), מה סכום הכסף שייאסף לסדנה?

ב.

לפניכם 33 פונקציות. איזו מבין הפונקציות מייצגת את סכום הכסף שייאסף לסדנה במצב המתואר?

(i) y=(16+3x)(120−x)y=(16+3x)(120-x)

(ii) y=(16+x)(120−3x)y=(16+x)(120-3x)

(iii) y=(16+x)(117−x)y=(16+x)(117-x)

ג.

גרף הפונקציה בהקשר למצב המתואר מסורטט במערכת הצירים.

(1)

מהו ערך הפונקציה עבור x=2x=2, x=9x=9, x=1.5x=1.5, x=−3x=-3? מבין הערכים האלה, מה הם הערכים שיש להם משמעות בהקשר לנתוני השאלה?

(2)

לאיזה חלק בגרף הפונקציה יש משמעות? הסבר.

ד.
(1)

מה מספר המשתתפים הנוספים שכדאי למדריך שיצטרפו, כדי שסכום הכסף שהוא יקבל יהיה הגבוה ביותר?

(2)

מהו סכום הכסף שייאסף במקרה זה?

ה.

עבור מספר משתתפים נוספים שגדול ממספר המשתתפים הנוספים שמצאת בסעיף ד', האם סכום הכסף שייאסף לסדנה:

(1) הולך וגדל (2) נשאר אותו הדבר (3) הולך וקטן.

הסבר את תשובתך.

שאלה 5 · הנחה לכל משתתף נוסף: מחיר מקורי, הכנסה מרבית ותחוםשאלת ביניים · קשה

סדנת בישול מיועדת לקבוצה של 1515 משתתפים, שכל אחד מהם משלם pp ₪. על כל משתתף נוסף שמצטרף, המחיר לכל משתתף בסדנה יורד ב-33 ₪.

ידוע שאם יצטרפו 55 משתתפים נוספים, ייאסף בסך הכול 2,0002{,}000 ₪.

א.

מצאו את pp.

ב.

כמה משתתפים נוספים צריכים להצטרף כדי שסכום הכסף שייאסף יהיה הגבוה ביותר? מהו הסכום?

ג.

עבור אילו מספרים של משתתפים נוספים ייאסף סכום שאינו קטן מהסכום שהיה נאסף בלי משתתפים נוספים?

שאלה 6 · פרבולה עם פרמטר: מהגובה המקסימלי למסלול, ומספר נקודות המפגש עם רחפןשאלה מלאה · קשה

מסלול של כדור שנבעט מהקרקע מתואר על ידי הפרבולה f(x)=−x2+bxf(x)=-x^2+bx, כאשר bb הוא פרמטר. xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה, ו-f(x)f(x) הוא גובה הכדור (במטרים); החלק החיובי של הפרבולה מתאר את מעוף הכדור, והכדור עף בכיוון החיובי של ציר ה-xx.

א.

הביעו באמצעות bb את שיעורי הקדקוד של הפרבולה.

ב.

הגובה המקסימלי של הכדור הוא 6.25 מטרים. מצאו את bb.

ג.

הציבו b=5b=5.

רחפן טס במסלול אופקי ישר, בגובה 4 מטרים מעל הקרקע, באותו מישור של מסלול הכדור. באילו מרחקים אופקיים מנקודת הבעיטה מסלול הכדור חוצה את מסלול הרחפן?

ד.

רחפן אחר טס במסלול אופקי בגובה hh מטרים (h>0h>0). קבעו, לפי ערכי hh, בכמה נקודות מסלול הכדור חוצה את מסלול הרחפן או נוגע בו.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.