דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייה - כיתה י"א 3 יח"ל

פרבולה בהקשר בחזרה לבגרות, לכיתה י"א 3 יחידות: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייה. השאלות מתארות מסלולים - זרם מים במזרקה, קפיצה של דולפין, כדור שנבעט מהקרקע או נזרק מגובה 5 מטרים - ומבקשות למצוא את הגובה המרבי, היכן הכדור נוחת ומתי הוא עולה. בחלק מהשאלות יש פרמטר a או b בפונקציה, ובאחת מחיר של סדנת בישול שיורד עם כל משתתף נוסף. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו מהן שאלות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים.

41 שאלותקלה: 13בינונית: 24קשה: 4

שאלה 1 · פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייהשאלה קצרה · קלה

מסלול זרם המים במזרקה מתואר על ידי הפונקציה y=−0.25x2+2xy=-0.25x^2+2x, כאשר xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת היציאה של המים על פני הבריכה, ו-yy הוא הגובה (במטרים) של זרם המים מעל פני הבריכה. בתוך הבריכה עומד פסל שגובהו 2.52.5 מטרים מעל פני המים, במרחק אופקי של 66 מטרים מנקודת היציאה (הקטע PQPQ בסרטוט).

PQ

הראו כי זרם המים עובר מעל הפסל, ומצאו בכמה מטרים מעל ראש הפסל הוא עובר.

שאלה 2 · פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייהשאלה קצרה · בינונית

מסלול זרם המים במזרקה מתואר על ידי הפונקציה f(x)=−ax2+3xf(x)=-ax^2+3x, כאשר aa מספר חיובי, xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת היציאה של המים על פני הבריכה, ו-f(x)f(x) הוא הגובה (במטרים) של זרם המים מעל פני הבריכה. המים נופלים חזרה לבריכה במרחק 66 מטרים מנקודת היציאה.

א.

מצאו את הערך של aa.

ב.

מצאו את הגובה המרבי של זרם המים מעל פני הבריכה.

שאלה 3 · פרבולה עם פרמטר: מהגובה המקסימלי למסלול, ומספר נקודות המפגש עם רחפןשאלה מלאה · קשה

מסלול של כדור שנבעט מהקרקע מתואר על ידי הפרבולה f(x)=−x2+bxf(x)=-x^2+bx, כאשר bb הוא פרמטר. xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה, ו-f(x)f(x) הוא גובה הכדור (במטרים); החלק החיובי של הפרבולה מתאר את מעוף הכדור, והכדור עף בכיוון החיובי של ציר ה-xx.

א.

הביעו באמצעות bb את שיעורי הקדקוד של הפרבולה.

ב.

הגובה המקסימלי של הכדור הוא 6.25 מטרים. מצאו את bb.

ג.

הציבו b=5b=5.

רחפן טס במסלול אופקי ישר, בגובה 4 מטרים מעל הקרקע, באותו מישור של מסלול הכדור. באילו מרחקים אופקיים מנקודת הבעיטה מסלול הכדור חוצה את מסלול הרחפן?

ד.

רחפן אחר טס במסלול אופקי בגובה hh מטרים (h>0h>0). קבעו, לפי ערכי hh, בכמה נקודות מסלול הכדור חוצה את מסלול הרחפן או נוגע בו.

שאלה 4 · פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייהשאלה קצרה · קלה

קפיצה של דולפין מעל פני המים מתוארת על ידי הפונקציה y=−x2+4xy=-x^2+4x, כאשר xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מהנקודה שבה הדולפין יצא מהמים, ו-yy הוא הגובה (במטרים) של הדולפין מעל פני המים.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xx. מה המרחק האופקי בין הנקודה שבה הדולפין יצא מהמים לבין הנקודה שבה הוא חזר למים?

ב.

מצאו את הגובה המרבי של הדולפין מעל פני המים.

שאלה 5 · פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייהשאלה קצרה · בינונית

כדור נבעט מהקרקע. מסלולו מתואר על ידי הפונקציה y=−0.15x2+1.2xy=-0.15x^2+1.2x, כאשר xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה, ו-yy הוא הגובה (במטרים) של הכדור מעל הקרקע.

א.

מצאו את הגובה המרבי שאליו מגיע הכדור.

ב.

באילו ערכי xx הכדור נמצא בירידה, עד שהוא פוגע בקרקע?

שאלה 6 · פרבולה בהקשר: מחיר לא ידוע וקדקוד לא שלםשאלה מלאה · קשה

סדנת בישול מיועדת לקבוצה של 1515 משתתפים, שכל אחד מהם משלם pp ₪. על כל משתתף נוסף שמצטרף, המחיר לכל משתתף בסדנה יורד ב-33 ₪.

ידוע שאם יצטרפו 55 משתתפים נוספים, ייאסף בסך הכול 2,0002{,}000 ₪.

א.

מצאו את pp.

ב.

כמה משתתפים נוספים צריכים להצטרף כדי שסכום הכסף שייאסף יהיה הגבוה ביותר? מהו הסכום?

ג.

עבור אילו מספרים של משתתפים נוספים ייאסף סכום שאינו קטן מהסכום שהיה נאסף בלי משתתפים נוספים?

שאלה 7 · פרבולה בהקשר: מעוף של כדורשאלה מלאה · קלה

כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6x, כאשר xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה, ו-f(x)f(x) הוא גובה הכדור (במטרים). הקרקע היא בגובה y=0y=0, והחלק החיובי של הפרבולה מתאר את מעוף הכדור.

לפניכם שני גרפים, 1 ו-2:

גרף 1
גרף 2
א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xx.

ב.

קבעו איזה מן הגרפים, 1 או 2, מתאר את הפרבולה. נמקו.

ג.

שיעור ה-xx של קדקוד הפרבולה נמצא באמצע בין נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-xx. מצאו את שיעורי הקדקוד.

ד.

בעבור אילו ערכי xx הכדור נמצא בעלייה?

ה.

מה גובה הכדור כשהמרחק האופקי שלו מנקודת הבעיטה הוא 1 מטר?

שאלה 8 · פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייהשאלה קצרה · בינונית

כדור נזרק כלפי מעלה מגובה 55 מטרים. גובה הכדור מעל הקרקע (במטרים) מתואר על ידי הפונקציה h(t)=−5t2+20t+5h(t)=-5t^2+20t+5, כאשר tt הוא הזמן (בשניות) מרגע הזריקה.

א.

מצאו את הגובה המרבי שאליו מגיע הכדור, ואחרי כמה שניות מרגע הזריקה הוא מגיע אליו.

ב.

במשך כמה שניות היה הכדור בגובה של יותר מ-2020 מטרים?

שאלה 9 · מסלול כדור עם פרמטר: קדקוד באמצעות b וחיתוך עם קו אופקישאלה קצרה · קשה

מסלול של כדור שנבעט מהקרקע מתואר על ידי הפרבולה f(x)=−x2+bxf(x)=-x^2+bx, כאשר bb הוא פרמטר. xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה, ו-f(x)f(x) הוא גובה הכדור (במטרים); החלק החיובי של הפרבולה מתאר את מעוף הכדור, והכדור עף בכיוון החיובי של ציר ה-xx.

א.

הביעו באמצעות bb את שיעורי הקדקוד של הפרבולה.

ב.

הציבו b=5b=5.

רחפן טס במסלול אופקי ישר, בגובה 4 מטרים מעל הקרקע, באותו מישור של מסלול הכדור. באילו מרחקים אופקיים מנקודת הבעיטה מסלול הכדור חוצה את מסלול הרחפן?

שאלה 10 · פרבולה בהקשר: סיור במוזיאון - שורשים וקדקודשאלה מלאה · קלה

קבוצה של 1212 ילדים נרשמה לסיור במוזיאון. כל ילד היה צריך לשלם 6060 ₪, אבל על כל ילד נוסף שמצטרף, המחיר לכל ילד בסיור יורד ב-22 ₪.

אם xx הוא מספר הילדים הנוספים, סכום הכסף שייאסף הוא y=(12+x)(60−2x)y=(12+x)(60-2x). לפניכם גרף הפונקציה:

א.

מה סכום הכסף שייאסף אם יצטרפו 55 ילדים נוספים?

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx. לאיזו מהן יש משמעות בהקשר, ומהי?

ג.

כמה ילדים נוספים צריכים להצטרף כדי שסכום הכסף שייאסף יהיה הגבוה ביותר? מהו הסכום הזה?

עוד 6 שאלות על פרבולה בהקשר: נקודות חיתוך, קדקוד ותחומי עלייה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פרבולה בהקשר: קפיצה של דולפין (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפרבולה: f(x)=−0.4x2+2xf(x)=-0.4x^2+2x. לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:

  2. הנחה לכל משתתף נוסף: מחיר מקורי, הכנסה מרבית ותחום (שאלת ביניים · קשה)

    סדנת בישול מיועדת לקבוצה של 1515 משתתפים, שכל אחד מהם משלם pp ₪. על כל משתתף נוסף שמצטרף, המחיר לכל משתתף בסדנה יורד ב-33 ₪. ידוע שאם…

  3. כיוון הפתיחה של פרבולה וגובה בנקודה (שאלה קצרה · קלה)

    כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6x, כאשר xx הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה, ו-f(x)f(x) הוא גובה הכדור…

  4. פרבולה בהקשר: סכום הכסף לסדנת צילום (שאלה מלאה · בינונית)

    קבוצה של 1616 משתתפים נרשמה לסדנת צילום. כל משתתף היה צריך לשלם 120120 ₪. המדריך הסכים שלכל משתתף נוסף שיצטרף לסדנה, הוא יוזיל את המחיר ב-33…

  5. הכנסה כפונקציה ריבועית: ערך ונקודות חיתוך בהקשר (שאלה קצרה · בינונית)

    קבוצה של 1212 ילדים נרשמה לסיור במוזיאון. כל ילד היה צריך לשלם 6060 ₪, אבל על כל ילד נוסף שמצטרף, המחיר לכל ילד בסיור יורד ב-22 ₪. אם xx…

  6. קפיצת דולפין: נקודות חיתוך, גובה מרבי ותחום עלייה (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה הפרבולה: f(x)=−0.4x2+2xf(x)=-0.4x^2+2x.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (23)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.