מבחן לדוגמה: פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים של פולינום - כיתה י"א 4 יח"ל

מצאו את האינטגרל הלא מסוים $\int f(x)\,dx$.

הראו כי גם $G(x)=\frac{(3x-1)^3}{9}$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$, ומצאו את הקבוע $C$ שעבורו $G(x)=3x^3-3x^2+x+C$ לכל $x$.

מצאו את האינטגרל הלא מסוים $\int f(x)\,dx$.

מצאו את $k$.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של כל נקודות הקיצון של $F(x)$, וקבעו את סוגן.

מה הם שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, ומהו סוגן? אם יש צורך, הביעו באמצעות $a$.

נתון כי הפונקציה היא: $f(x)=-3x^4+8x^3+18x^2-10$.

גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה-$x$ בשתי נקודות שונות.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי הישר המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=a$ ועל ידי הישר $x=-1$.

מצאו את כל האפשרויות לפונקציה $F(x)$.

הראו כי לכל פונקציה קדומה $F(x)$ של $f(x)$ יש נקודת מקסימום מקומי שבה $x=1$ ונקודת מינימום מקומי שבה $x=3$.

הראו כי ההפרש בין ערך המקסימום המקומי לערך המינימום המקומי של $F(x)$ שווה לכל הפונקציות הקדומות של $f(x)$, וחשבו אותו.

מצאו את כל הפונקציות הקדומות $F(x)$ של $f(x)$ שלגרף שלהן יש בדיוק שתי נקודות משותפות עם ציר ה-$x$.