מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בתיבה: נפח, שטח פנים ושטח מעטפת - כיתה י"א 4 יח"ל

מפח ריבועי שצלעו $12$ ס"מ חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ס"מ, ומקפלים את השוליים לתיבה פתוחה מלמעלה (ראו איור).

לתיבה סגורה בסיס מלבני שאורכו גדול פי $3$ מרוחבו, ונפחה $36$ סמ"ק. נסמן ב-$x$ את רוחב הבסיס וב-$h$ את גובה התיבה (בס"מ).

מכל פתוח מלמעלה (בלי מכסה) בצורת תיבה שבסיסה ריבוע, ונפחו $16$ מ"ק. מטר רבוע של חומר לבסיס עולה $40$ ש"ח, ומטר רבוע של חומר לדפנות עולה $10$ ש"ח. נסמן ב-$x$ את אורך צלע הבסיס (במטרים).

כיפה בצורת חצי כדור שמרכזו $O$ ורדיוסו $3\sqrt3$ מ': כל נקודה על הכיפה נמצאת במרחק $3\sqrt3$ מ' מ-$O$. בתוך הכיפה מונחת תיבה שבסיסה ריבוע: הבסיס התחתון של התיבה מונח על בסיס הכיפה ומרכזו ב-$O$, וארבעת הקודקודים העליונים של התיבה נמצאים על הכיפה (ראו סרטוט).

לתיבה פתוחה מלמעלה (בלי מכסה) בסיס מלבני שאורכו כפול מרוחבו, ונפחה $V$ סמ"ק. ידוע כי מבין כל התיבות האלה, שטח הפנים (בסיס וארבע דפנות) הקטן ביותר מתקבל כאשר רוחב הבסיס הוא $3$ ס"מ.

בתיבה שבסיסה ריבוע, אורך אלכסון הגוף הוא $6$ ס"מ. נסמן ב-$x$ את אורך צלע הבסיס וב-$h$ את גובה התיבה (בס"מ), כמתואר בסרטוט.