מבחן לדוגמה: משוואות בדרך גרפית (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

נתון הסכום:

בתנועת נוער 80% מן החניכים משתתפים בטיולים, ו-45% מן החניכים משתתפים במחנה הקיץ.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, $y=0$, ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-$x$, $(6,0)$. נקודות הקיצון של $f(x)$ הן $(2,4)$ ו-$(8,-2)$, והן מסומנות בסרטוט.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6x}{(x^2+1)^2}$, המוגדרת לכל $x$. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$, וגרף $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0,1)$.

נתון השוויון: $2+6+12+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. הגרף חותך את ציר ה-$x$ בנקודות $(a,0)$ ו-$(b,0)$, והנקודה $(c,e)$ היא נקודת המקסימום שלו.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4$, ונתונות הפונקציות $g(x)=|f(x)+1|$ ו-$h(x)=|f(x)|+1$.

המרובע ABCD חסום במעגל, ו-AD הוא קוטר במעגל שאורכו 10. הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CB, כך ש-$FB\perp FA$, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:

בחניון של חברה יש מכוניות משני סוגים: מכוניות חשמליות ומכוניות בנזין. 35% מן המכוניות בחניון הן חשמליות והשאר מכוניות בנזין. 85% מן המכוניות בחניון הן לבנות והשאר בצבעים אחרים.

לפניכם שתי טענות I-II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם.

I. פחות מחמישית מן המכוניות בחניון הן מכוניות חשמליות לבנות.

II. ההסתברות לבחור באקראי מכונית חשמלית מבין המכוניות הלבנות גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי מכונית לבנה מבין המכוניות החשמליות.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y=0$, ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-$x$, ששיעוריה הם $(-2,0)$. שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר חיובי.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{-12x^2}{(x^3+1)^3}$, המוגדרת בתחום $x\ne-1$. בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$. הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$. נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0,1)$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:

בשכבת י"א בבית ספר נערך סקר. 45% מן התלמידים בשכבה מנגנים בכלי נגינה, ו-75% מן התלמידים בשכבה עוסקים בספורט.

לפניכם שתי טענות I-II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם.

I. לפחות 20% מן התלמידים בשכבה מנגנים בכלי נגינה וגם עוסקים בספורט.

II. ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שעוסק בספורט מבין התלמידים המנגנים בכלי נגינה קטנה מן ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שמנגן בכלי נגינה מבין התלמידים העוסקים בספורט.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y=0$, ושתי נקודות חיתוך בלבד עם ציר ה-$x$, ששיעוריהן הם $(-2,0)$ ו-$(4,0)$. שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט: $(-6,-a)$, $(1,2a)$ ו-$\left(9,-\frac{a}{2}\right)$. $a$ הוא פרמטר חיובי.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{-16x}{(x^2-4)^3}$, המוגדרת בתחום $x\ne\pm2$. לפונקציה $f(x)$ אין נקודות קיצון, ובסרטוט מוצגת נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה עם ציר ה-$x$.

$g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$. הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne\pm2$. נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0,1.25)$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$.

נתונות הפונקציות: $f(x)$, $f'(x)$ ו-$f''(x)$, המוגדרות לכל $x\neq0$. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$. לגרף הפונקציה $f''(x)$ יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$, ושיעוריהן הם: $(a,0)$, $(b,0)$, $(d,0)$. הנקודה $(c,e)$ היא נקודת הקיצון של הפונקציה $f''(x)$. הישר $y=k$, כאשר $0<k<e$, הוא אסימפטוטה אופקית של $f''(x)$ כאשר $x\to\infty$ (מסומן בקו מקווקו).

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, ועליו כתובים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$ ושיעורי נקודת המינימום שלה. הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

נתונות הפונקציות: $g(x)=|f(x)-m|$, $h(x)=|f(x)|-m$. $m$ הוא פרמטר, $0<m<3$.

המשולש ABC חסום במעגל. הקטע AD הוא קוטר במעגל, ו-AH הוא הגובה לצלע BC במשולש ABC, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ אין אסימפטוטות מאונכות לצירים, וכי הגרף שלה אינו עובר ברביע השני.

מצאו את $a$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה.

נתונה הפונקציה $h(x)=|f(x)|$. קבעו, לפי ערכי $m$, כמה פתרונות יש למשוואה $h(x)=m$.

נתונה הפונקציה $g(x)=-f(x+c)$, כאשר $c>0$ פרמטר.

הביעו באמצעות $c$ את הערך של $k$ שבעבורו $\int_{-1-c}^{k}g(x)dx=\int_{-1}^{1}h(x)dx$ (כאשר $k>-1-c$). הסבירו.

מצאו, לפי ערכי $k$, את מספר הפתרונות של המשוואה $f(x)=k$.

נתון כי $f(x)=\frac{p(1-x)}{(x^2-2x-8)^2}$, כאשר $p\neq0$ הוא פרמטר.

מצאו את $a$, $b$ ו-$c$, וקבעו את הסימן של $p$.

הביעו באמצעות $p$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f'(x)\cdot f(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=0$ ו-$x=2$.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ג שווה ל-$\frac1{16}$. מצאו את $p$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ בתחום $0\le x\le2\pi$, והוכיחו כי בתחום $0<x\le2\pi$ יש ל-$f(x)$ נקודת אפס אחת בלבד. נסמן אותה ב-$t$; הראו כי $\pi<t<\frac{3\pi}{2}$.

מצאו את נקודות הקיצון של $g(x)$ בתחום $0<x<2\pi$ וקבעו את סוגן. הראו כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שווה ל-$\cos t$.

הוכיחו כי $\cos t>-\frac1\pi$, וקבעו אם למשוואה $g(x)=-\frac1\pi$ יש פתרון בתחום $0<x\le2\pi$.

מצאו, לפי ערכי $m$, את מספר הפתרונות של המשוואה $g(x)=m$ בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$, $x\neq0$. הביעו את תשובתכם באמצעות $t$.