מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בשטח ובהיקף: מלבן, משולש וגדר - כיתה י"א 5 יח"ל

חקלאי מגדר חלקה מלבנית הצמודה לנהר ישר. לאורך הנהר אין צורך בגדר. גדר פנימית, הניצבת לנהר, מחלקת את החלקה לשתי חלקות. לרשות החקלאי $120$ מטר גדר, והוא משתמש בכולה (שתי הצלעות הניצבות לנהר, הגדר הפנימית והצלע המקבילה לנהר). נסמן ב-$x$ את אורך כל אחת משלוש הגדרות הניצבות לנהר (במטרים).

נתון מלבן $ABCD$.

הנקודה $F$ היא אמצע הצלע $BC$.

$E$ היא נקודה על הצלע $AD$, כך ש-$EF$ מאונך ל-$AD$.

הנקודה $K$ נמצאת על $EF$ כך ש-$EK=KC=12$ ס"מ (ראו סרטוט).

$FC=x$, ונתון כי $FK=\sqrt{144-x^2}$, כאשר $0<x<12$.

במשולש שווה שוקיים אורך כל אחת מהשוקיים 10 ס"מ, ואורך הבסיס $2x$.

חותכים חוט שאורכו $k$ לשני חלקים. מחלק אחד של החוט יוצרים ריבוע ומן החלק האחר יוצרים מעגל. נסמן ב-$x$ את אורך צלע הריבוע.

מגרש מלבני ששטחו $100$ מ"ר צמוד לקיר, ומגדרים את שלוש צלעותיו האחרות. מחיר מטר גדר בצלע המקבילה לקיר הוא $k$ ש"ח ($k>0$), ומחיר מטר גדר בכל אחת משתי הצלעות הניצבות לקיר הוא $10$ ש"ח. נסמן ב-$x$ את אורך הצלע המקבילה לקיר (במטרים). עלות הגידור היא $C(x)=kx+\frac{2000}{x}$ ש"ח, $x>0$.

$ABCD$ הוא מלבן ששטחו $24$ סמ"ר. הנקודה $E$ היא נקודה פנימית בצלע $AB$ כך ש-$AE=2$ ס"מ, והנקודה $F$ היא נקודה פנימית בצלע $AD$ כך ש-$AF=3$ ס"מ (ראו סרטוט). נסמן $AB=x$.