מבחן לדוגמה: קיצון ללא נגזרת: קודקוד הפרבולה ושיקולים איכותניים - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-6x+11$. מצאו את הערך הקטן ביותר של $f(x)$, ואת ה-$x$ שבו הוא מתקבל.

ההפרש בין שני מספרים הוא $8$. מצאו את שני המספרים שמכפלתם היא הקטנה ביותר, ואת המכפלה הזאת.

מצאו את הנקודה $P$ על הישר שהמרחק שלה מ-$O$ הוא הקטן ביותר, ואת המרחק הזה.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר $y=x-2$, ואת התחום של $t$.

הביעו את אורך הקטע $PQ$ באמצעות $t$, ומצאו את $t$ שבעבורו אורך הקטע $PQ$ הוא הגדול ביותר. מהו האורך הזה?

מצאו את כל ערכי $t$ שבעבורם $PQ=5$, והסבירו מדוע אין ערך של $t$ שבעבורו $PQ=10$.

מצאו את אורכי צלעות המקבילית שעבורם שטחה מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

הביעו את $PA^2+PB^2$ באמצעות $x$, ומצאו את הנקודה $P_1$ שבעבורה $PA^2+PB^2$ הוא הקטן ביותר, ואת הערך הקטן ביותר.

$B'$ היא שיקוף הנקודה $B$ בציר ה-$x$. מצאו את שיעורי $B'$, והסבירו מדוע $PB=PB'$ לכל נקודה $P$ על ציר ה-$x$. חשבו את $P_1A+P_1B$ עבור הנקודה $P_1$ מסעיף א.

מצאו את הנקודה $P_2$ על ציר ה-$x$ שבעבורה הסכום $PA+PB$ הוא הקטן ביותר, ואת הסכום הזה. האם $P_2$ היא הנקודה $P_1$ מסעיף א?

הוכיחו כי הסכום $ME+DE$ אינו תלוי ב-$x$, והביעו אותו באמצעות $\alpha$.

נתון כי לכל מיקום של $E$ על הבסיס, הנקודות $D$ ו-$M$ נמצאות על השוקיים $AC$ ו-$AB$ (ולא על המשכיהן), וכי הסכום הקטן ביותר האפשרי של שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא 14.4.

מצאו את $\alpha$.

מצאו את כל הערכים של $R$ שבעבורם יש בדיוק שני מיקומים של $E$ על הבסיס שבהם רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות $A$, $M$, $E$ ו-$D$ שווה ל-$R$.