שאלות פתוחות: הגדרת הנגזרת בנקודה כגבול של קצבי שינוי ממוצעים - כיתה י"א 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על הגדרת הנגזרת בנקודה כגבול של קצבי שינוי ממוצעים, לתלמידי כיתה י"א 5 יח"ל, מתוך הנושא "מושג הנגזרת (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · הערכת הנגזרת בנקודה מקצבי שינוי ממוצעיםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x2−xf(x)=2x^2-xf(x)=2x2−x.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של fff בקטע שבין x=1x=1x=1 ל-x=1+hx=1+hx=1+h עבור h=0.1h=0.1h=0.1, עבור h=0.01h=0.01h=0.01 ועבור h=−0.01h=-0.01h=−0.01. על פי התוצאות, העריכו את f′(1)f'(1)f′(1).

שאלה 2 · זיהוי גבול של מנות הפרשים כנגזרת בנקודהשאלה קצרה · בינונית

בכל סעיף נתון גבול. כתבו פונקציה f(x)f(x)f(x) ומספר aaa כך שהגבול הוא f′(a)f'(a)f′(a), וחשבו את הגבול.

א.

lim⁡h→05(2+h)−(2+h)2−6h\lim_{h\to0}\frac{5(2+h)-(2+h)^2-6}{h}h→0lim​h5(2+h)−(2+h)2−6​

ב.

lim⁡h→014+h−14h\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{4+h}-\frac14}{h}h→0lim​h4+h1​−41​​

שאלה 3 · מנת ההפרשים נתונה: נגזרת, שיפוע מיתר וערך הפונקציהשאלה קצרה · קשה

על פונקציה fff ידוע: f(2)=1f(2)=1f(2)=1, ולכל h≠0h\neq0h=0 מתקיים
f(2+h)−f(2)h=3h2−h+4\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=3h^2-h+4hf(2+h)−f(2)​=3h2−h+4

א.

מצאו את f′(2)f'(2)f′(2), ואת שיפוע הישר העובר דרך הנקודות שעל גרף fff שבהן x=2x=2x=2 ו-x=4x=4x=4.

ב.

מצאו את f(1)f(1)f(1).

שאלה 4 · הנגזרת בנקודה כגבול של מנת ההפרשיםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3xf(x)=x2+3x.

הראו כי קצב השינוי הממוצע של fff בקטע שבין x=2x=2x=2 ל-x=2+hx=2+hx=2+h (כאשר h≠0h\neq0h=0) הוא 7+h7+h7+h. היעזרו בכך ומצאו את f′(2)f'(2)f′(2) כגבול של קצבי השינוי הממוצעים כאשר h→0h\to0h→0.

שאלה 5 · כמה קרוב הקצב הממוצע לנגזרת?שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4xf(x)=x2−4x.

הראו כי קצב השינוי הממוצע של fff בקטע שבין x=3x=3x=3 ל-x=3+hx=3+hx=3+h (כאשר h≠0h\neq0h=0) הוא 2+h2+h2+h. היעזרו בכך ומצאו את f′(3)f'(3)f′(3). לאחר מכן מצאו את כל ערכי hhh שבעבורם קצב השינוי הממוצע בקטע שונה מ-f′(3)f'(3)f′(3) בפחות מ-0.10.10.1.

שאלה 6 · מהמיתר למשיק: נקודת החיתוך עם ציר ה-xשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=4−x2f(x)=4-x^2f(x)=4−x2 והנקודה A(1,3)A(1,3)A(1,3) שעל הגרף שלה. הנקודה BBB נמצאת על הגרף, ושיעור ה-xxx שלה הוא 1+h1+h1+h, כאשר h≠0h\neq0h=0 ו-h≠−2h\neq-2h=−2. בסרטוט מתואר המקרה h=1h=1h=1, שבו B(2,0)B(2,0)B(2,0).
f(x)
AB

א.

הראו כי שיפוע הישר ABABAB הוא −2−h-2-h−2−h.

ב.

הראו כי הישר ABABAB חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=h+5h+2x=\frac{h+5}{h+2}x=h+2h+5​. בדקו את התוצאה עבור h=1h=1h=1.

ג.

כאשר h→0h\to0h→0, הנקודה BBB מתקרבת ל-AAA והישר ABABAB מתקרב למשיק לגרף בנקודה AAA. מצאו את הגבול של שיעור ה-xxx מסעיף ב כאשר h→0h\to0h→0. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה AAA, והראו שהוא חותך את ציר ה-xxx בנקודה שמצאתם.

שאלה 7 · מילוי מכל: מקצב ממוצע לקצב רגעישאלת ביניים · בינונית

מכל מתמלא במים. כמות המים במכל (בליטרים) לאחר ttt דקות מתחילת המילוי היא W(t)=t2+60tW(t)=t^2+60tW(t)=t2+60t, עבור 0≤t≤200\le t\le200≤t≤20.

א.

חשבו את קצב המילוי הממוצע בין הדקה ה-555 לדקה ה-777. ציינו את היחידות.

ב.

הראו כי קצב המילוי הממוצע בין הדקה ה-555 לדקה ה-(5+h)(5+h)(5+h) הוא 70+h70+h70+h (עבור h≠0h\neq0h=0). בדקו שהביטוי נותן את התוצאה של סעיף א.

ג.

מצאו את קצב המילוי הרגעי ברגע t=5t=5t=5, כלומר W′(5)W'(5)W′(5), והסבירו מדוע קצב המילוי הממוצע בסעיף א גדול ממנו.