מבחן לדוגמה: נגזרת של פונקציה מורכבת (כלל השרשרת) - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2+1)^4$. כתבו מהי הפונקציה הפנימית ומהי הפונקציה החיצונית, ומצאו את $f'(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=(5-2x)^3$. מצאו את $g'(x)$.

מצאו את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=(3x-2)^5$.

מצאו את הנגזרת של הפונקציה $g(x)=\sqrt{8x+1}$ בתחום $x>-\frac18$.

הראו כי $f'(x)=-\frac{16x}{(x^2+4)^2}$.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=2$.

הראו כי המשיק מסעיף ב חותך את ציר ה-$y$ בנקודה שנמצאת על גרף הפונקציה, ומצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו.

לפניכם טענה:

אם ל-$n$ טבעי מסוים $5^n+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית, אז גם $5^{n+1}+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית.

רונית אומרת: הטענה שלמעלה מספיקה כדי להוכיח שהביטוי $5^n+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית לכל $n$ טבעי.

האם רונית צודקת? נמקו את תשובתכם.

נתונה פונקציה אי-זוגית שגזירה בכל נקודה.

לפניכם טענה: "פונקציית הנגזרת של הפונקציה הנתונה היא אי-זוגית".

קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. אם הטענה נכונה - הוכיחו אותה, אם לא - הציגו דוגמה נגדית.

לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת בתחום $0.8\le x\le5.6$.

נגדיר: $F(a)=\int_{1}^{a}f(x)\,dx$, $a>1$.

נתונה סדרה חשבונית ובה $2n+1$ איברים ($n\ge2$). הפרש הסדרה הוא $d$.

נגדיר $h(x)=f(x^2-2)$. חשבו את $h'(2)$.

נגדיר $g(x)=\sqrt{f(x)+6}$ (הפונקציה מוגדרת בסביבת $x=2$). חשבו את $g'(2)$.

הראו כי $f'(x)=5x(x-5)^2(x-2)$.

מצאו את שיעורי כל הנקודות שעל גרף הפונקציה שבהן המשיק לגרף מקביל לציר ה-$x$.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=1$, ואת נקודת החיתוך שלו עם המשיק לגרף בראשית הצירים.