מבחן לדוגמה: חוצי הזוויות במשולש ומרכז המעגל החסום - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את הזוויות של המשולש $BDE$.

חשבו את $EC$ ואת $DE$.

חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABC$ ואת רדיוס המעגל החסום בו.

חשבו את אורך הקטע $AE$.

חשבו את $\alpha$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle OAB=45^\circ$ ו-$\sphericalangle OBA=\frac{\alpha}{2}$. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש $AOB$, וחשבו את $BO$.

הראו כי $\sphericalangle OBM=45^\circ$.

חשבו את $BM$ (היעזרו במשולש $BMC$), ואת שטח המשולש $OBM$.

הוכיחו כי $\sphericalangle BIC=90^\circ+\frac{\beta}{2}$.

נתון ש-$\sphericalangle BIC$ גדולה פי 3 מ-$\sphericalangle BAC$. חשבו את $\sphericalangle BAC$.

מצאו את $\alpha$.

מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABC$ ובין רדיוס המעגל החסום בו.

נתון כי ההפרש בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABC$ ובין רדיוס המעגל החסום בו הוא 2 ס"מ.

מצאו את אורך הקטע $AE$.

הביעו את $BO$ ואת $BM$ באמצעות $d$ ו-$\alpha$, בצורה הפשוטה ביותר.

הביעו את שטח המשולש $OBM$ באמצעות $d$ ו-$\alpha$.

נתון: $BD=20$, ושטח המשולש $OBM$ הוא $50\left(\sqrt3-1\right)$.

מצאו את $\alpha$.

עבור $BD=20$, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש $OBM$? באיזה מלבן הוא מתקבל?

הביעו את היחס $\frac rR$ באמצעות $\cos2\alpha$.

הוכיחו כי בכל משולש שווה-שוקיים $R\ge2r$, וקבעו מתי מתקיים שוויון.

מצאו את זוויות הבסיס של כל המשולשים שווי-השוקיים שבהם $R=4r$.

נתון שבמשולש $ABC$ מתקיים $R=4r$, $\angle BAC>90^\circ$ ו-$R+r=5$. מצאו את אורך הקטע $AE$.