מבחן לדוגמה: הזזה משולבת f(x−p)+k - כיתה י"א 5 יח"ל

ידוע כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$. נסמן ב-$S_n$ את הסכום של $n$ האיברים הראשונים.

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 9. המשיק למעגל בנקודה $A$ יוצר זווית של $35^\circ$ עם המיתר $AB$ (ראו סרטוט).

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x}$, המוגדרת לכל $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-4x$ (ראו גרף), ונתונה הפונקציה $g(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dx$ המוגדרת בתחום $-2\le t\le2$.

הביעו באמצעות $k$ את משוואות האסימפטוטות של $g(x)$.

מצאו את $k$ שבעבורו נקודת החיתוך של האסימפטוטות של $g(x)$ נמצאת על הישר $y=x+4$.

בנקודה $C(t,0)$, $t>0$, מעבירים אנך לציר ה-$x$. האנך חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה A ואת הגרף של הפונקציה $g(x)$ בנקודה B.

הביעו באמצעות $t$ את מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC.

הוכיחו כי מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC מקסימלית כאשר הנקודה B היא נקודת פיתול של הפונקציה $g(x)$.

נתונה הפונקציה: $k(x)=\frac{4(x-1)\sqrt{x-1}}{(x-1)^2+3}$, המוגדרת בתחום: $x\ge1$.

היעזרו בסעיפים הקודמים של השאלה. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה $k(x)$, וקבעו את סוגה. נמקו את תשובתכם.

ענו על סעיף א עבור התחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$.

ענו גם על סעיף ב עבור התחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$.

מצאו את ערך הביטוי $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}f(x)\,dx$. נמקו את תשובתכם.