מבחן לדוגמה: הצטברות של פונקציית מדרגה, כולל ערכים שליליים - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה פונקציית המדרגה

$f(t)=\begin{cases}c & 0\le t<4\\ c-5 & 4\le t\le 10\end{cases}$

, ומגדירים $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ בקטע $[0,10]$. נתון כי $F(10)=0$.

צוללת נמצאת ברגע $t=0$ בעומק $30$ מטרים מתחת לפני הים, כלומר בגובה $h(0)=-30$ (הגובה $h$ נמדד במטרים ביחס לפני הים, חיובי כלפי מעלה). המהירות האנכית שלה היא פונקציית מדרגה: בפרק הזמן $0\le t<4$ היא עולה במהירות $6$ מ'/שנ', ובפרק הזמן $4\le t\le 10$ היא שוקעת במהירות $2$ מ'/שנ' (הזמן בשניות).

ברגע $t=0$ מעלית נמצאת בקומת הכניסה של בניין, בגובה $0$ (הגובה $h$ נמדד במטרים, חיובי כלפי מעלה; הזמן $t$ בשניות). המהירות האנכית של המעלית היא פונקציית מדרגה: בפרק הזמן $0\le t<6$ היא עולה במהירות $2$ מ'/שנ', בפרק הזמן $6\le t<10$ היא עומדת (מהירות $0$), ובפרק הזמן $10\le t\le16$ היא יורדת במהירות $3$ מ'/שנ'. בסרטוט שלפניכם: גרף המהירות של המעלית.

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

נתונה פונקציית המדרגה

$f(t)=\begin{cases}2a & 0\le t<3\\ -a & t\ge 3\end{cases}$

, כאשר $a\neq 0$ פרמטר. נסמן ב-$F(x)$ את ההצטברות של $f$ מ-$0$ עד $x$ (סכום שטחי המלבנים, עם סימן, שבין גרף $f$ לציר בקטע $[0,x]$), עבור $x\ge 0$.

ברגע $t=0$ יש במכל $20$ ליטרים של מים (הזמן $t$ בדקות). בפרק הזמן $0\le t<2$ נכנסים למכל מים בקצב של $6$ ליטרים לדקה. בפרק הזמן $2\le t<6$ יוצאים מהמכל מים בקצב של $4$ ליטרים לדקה. בפרק הזמן $6\le t\le10$ נכנסים למכל מים בקצב קבוע של $k$ ליטרים לדקה ($k>0$).

ידוע כי כמות המים במכל ברגע $t=10$ שווה לכמות המים במכל ברגע $t=2$.