מבחן לדוגמה: בעיות קיצון המשלבות אינטגרלים - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה הפונקציה $g(t)=\int_0^t\left(x^2-4x+3\right)dx$, המוגדרת בתחום $0\le t\le4$. נתון כי $g(t)=\frac{t^3}{3}-2t^2+3t$, ושבתוך התחום יש לפונקציה נקודת מקסימום $\left(1,\frac43\right)$ ונקודת מינימום $(3,0)$.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4x+5$. לכל ערך של $t$ נסמן ב-$S(t)$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-$x$ והישרים $x=t$ ו-$x=t+1$ (בסרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה).

מעבירים משיק לגרף הפונקציה $y=x^2$ בנקודה שבה $x=t$, $0\le t\le2$. נסמן ב-$S(t)$ את השטח המוגבל על ידי הפרבולה, המשיק והישרים $x=0$ ו-$x=2$ (ראו שרטוט; מתואר מקרה אחד לדוגמה).

נתונה הפרבולה $y=x^2$ בקטע $0\le x\le2$, והישר $y=k$, כאשר $0\le k\le4$. נסמן ב-$S(k)$ את סכום השטחים המוגבלים על ידי הפרבולה, הישר $y=k$ והישרים $x=0$ ו-$x=2$ (בסרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה).

לכל $a>0$ נתונות הפרבולות $y=ax^2$ ו-$y=1-\frac{x^2}{a}$ (בשרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה).

דרך הנקודה $P(1,2)$ מעבירים ישר ששיפועו $m$. נסמן ב-$x_1<x_2$ את שיעורי ה-$x$ של נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה $y=x^2$, וב-$S(m)$ את השטח המוגבל על ידי הפרבולה והישר (בסרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה).

(הדרכה: לכל $x_1<x_2$ מתקיים $\int_{x_1}^{x_2}(x-x_1)(x_2-x)\,dx=\frac{(x_2-x_1)^3}{6}$.)