מבחן לדוגמה: הוכחת נוסחת הסכום - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n}$ ובה $2n$ איברים ($n$ הוא מספר טבעי). הראו כי סכום הסדרה שווה ל-$n\cdot(a_n+a_{n+1})$.

מצאו את מספר האיברים בסדרה.

הוכיחו כי לכל $k$ טבעי מתקיים $a_{k+1}^2-a_k^2=d\left(a_k+a_{k+1}\right)$.

חברו את הזהות שבסעיף א' עבור $k=1,2,\dots,n-1$, והוכיחו כי

הוכיחו כי לכל $k$ טבעי, $1\le k\le n$, מתקיים: $a_k+a_{n+1-k}=a_1+a_n$.

כתבו את $S_n$ פעמיים: פעם מהאיבר הראשון אל האחרון ופעם מהאיבר האחרון אל הראשון, וחברו את שתי השורות איבר מתחת לאיבר. היעזרו בסעיף א והוכיחו כי $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$, והסיקו כי $S_n=\frac n2\left(2a_1+(n-1)d\right)$.

בסדרה חשבונית בת 25 איברים נתון: $a_{13}=8$.

בלי למצוא את $a_1$ ואת $d$, חשבו את סכום כל איברי הסדרה. נמקו בעזרת סעיפים א ו-ב.

חברו את הזהות הנתונה עבור $k=1,2,\dots,n-1$, והוכיחו כי

הוכיחו כי: $S_n^*=\frac15\cdot S_{5n}$.

נתון כי האיבר הראשון של הסדרה הוא שלילי וכי הסכום של $n$ האיברים האמצעיים שווה ל-0.

האם הפרש הסדרה הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

ידוע כי מתקיים: $a_1=-22\cdot|d|$.

מצאו את מספר האיברים בסדרה.