מבחן לדוגמה: ייצוג גרפי: איברים על ישר וסכומים על פרבולה - כיתה י"א 5 יח"ל

האם קיימת סדרה חשבונית שכל הנקודות $(n,S_n)$ שלה נמצאות על הפרבולה, כאשר $S_n$ הוא סכום $n$ האיברים הראשונים? אם כן, מצאו את האיבר הראשון ואת ההפרש; אם לא, נמקו.

מצאו את האיבר השלילי הראשון בסדרה ואת מקומו.

מצאו את הערך הגדול ביותר של סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה, ועבור איזה $n$ הוא מתקבל.

מצאו את נוסחת הסכום $S_n$, ואת האיבר הכללי של הסדרה.

מהו המקום של האיבר השלילי הראשון בסדרה? מהו ה-$n$ הקטן ביותר שעבורו $S_n<0$?

מצאו את משוואת הישר, ומצאו את $a_1$ ואת הפרש הסדרה $d$.

הנקודות $(n,S_n)$, כאשר $S_n$ הוא סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה, נמצאות על פרבולה $y=S(x)$. מצאו את משוואת הפרבולה.

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-$x$. מה המשמעות של נקודת החיתוך שבה $x>0$ לגבי הסדרה? מהו ה-$n$ הקטן ביותר שעבורו $S_n>0$?

ידוע כי הסכום $S_n$ הגדול ביותר מתקבל בדיוק עבור שני ערכים של $n$: $n=4$ ו-$n=5$. מצאו את $k$, וחשבו את הסכום הגדול ביותר.

הראו כי לכל $n$ טבעי מתקיים $a_n=dn+a_1-d$ ו-$S_n=\frac d2n^2+\left(a_1-\frac d2\right)n$. רשמו את משוואת הישר $\ell$ ואת משוואת הפרבולה $y=S(x)$.

הוכיחו כי שיעור ה-$x$ של קדקוד הפרבולה קטן ב-$\frac12$ משיעור ה-$x$ של נקודת החיתוך של הישר $\ell$ עם ציר ה-$x$.

נתון: $a_1=38$, וקדקוד הפרבולה $y=S(x)$ נמצא בנקודה שבה $x=10$.

מצאו את $d$. מהו הסכום הגדול ביותר $S_n$, ועבור איזה $n$ הוא מתקבל?