מבחן לדוגמה: שבר עשרוני מחזורי כסכום סדרה הנדסית אינסופית - כיתה י"א 5 יח"ל

הציגו כל אחד מהשברים העשרוניים המחזוריים כשבר פשוט בעזרת סכום של סדרה הנדסית אינסופית, ומצאו את $k$.

מצאו את מנת הסדרה ואת סכום כל איבריה.

בונים סדרה חדשה שאיבריה הם ריבועי איברי הסדרה הנתונה: $a_1^2,a_2^2,a_3^2,\dots$. חשבו את סכום הסדרה החדשה.

הראו כי $0.\overline{ab}=\frac{10a+b}{99}$.

הביעו את $A$ ואת $B$ כשברים פשוטים באמצעות $d$.

נתון כי $\frac{A}{B}=\frac{13}{37}$. מצאו את $d$.

הראו כי בעבור כל ספרה $d$ שבין $2$ ל-$8$ הסכום $A+B$ הוא שבר עשרוני מחזורי שכל ספרותיו אחרי הנקודה שוות ל-$d+1$, כלומר $A+B=0.\overline{e}$ כאשר $e=d+1$. בדקו את התוצאה בעבור הספרה $d$ שמצאתם בסעיף ב.

מצאו את כל הספרות $a$ שעבורן הסדרה מתכנסת וסכומה הוא מספר שלם.

הציגו את $x$ כסכום של המספר $\frac{3}{10}$ ושל סכום סדרה הנדסית אינסופית, ומצאו את $x$ כשבר פשוט מצומצם.

נסמן ב-$x_n$ את המספר שמתקבל כאשר מחברים ל-$\frac{3}{10}$ רק את $n$ האיברים הראשונים של הסדרה מסעיף א. למשל, $x_1=0.318$ ו-$x_2=0.31818$. הוכיחו כי לכל $n$ טבעי מתקיים $x-x_n=\frac{1}{55}\cdot\left(\frac{1}{100}\right)^n$.

מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר $n$ שבעבורו $x-x_n<10^{-8}$.