מבחן לדוגמה: cos(α±β) - כיתה י"א 5 יח"ל

$\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$

פשטו את האגף השמאלי בעזרת הזהויות לקוסינוס של סכום ושל הפרש, ומצאו את כל פתרונות המשוואה בתחום $0\le x\le2\pi$.

הביעו את $d$ באמצעות $R$, בערך מדויק.

חשבו את $\frac hd$.

נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$. הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$, $\angle B=a_2$, $\angle C=a_3$, $\angle D=a_4$, אז המרובע ABCD הוא טרפז.

נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ-30 קוביות המסודרות בצורת מלבן של $5\times6$ קוביות. הקומה שמעליה בנויה מ-20 קוביות המסודרות בצורת מלבן של $4\times5$ קוביות. וכך הלאה עד לקומה העליונה, שבה יש 2 קוביות ($1\times2$).

תוכלו להיעזר בנוסחה (לכל $n$ טבעי): $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=\left[\sin(x+\pi)+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^2+4(\cos(-x))^2-3$ המוגדרת לכל $x$. האם לפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$? נמקו את תשובתכם.

הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה $h(x)$ שתחום ההגדרה שלה הוא: $x\neq2$, $x\neq5$. הישרים: $x=2$, $x=5$, $y=0$ הם אסימפטוטות של הפונקציה $h(x)$. הנקודה $D(0,-1)$ היא נקודת המינימום היחידה של הפונקציה $h(x)$, הנקודה $F(3.5,-0.5)$ היא נקודת המקסימום היחידה של הפונקציה $h(x)$, והנקודה $E(1,0)$ היא נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה $h(x)$ עם ציר ה-$x$.

מצאו את $\cos(\alpha-\beta)$.

היעזרו בנוסחת המרחק בין שתי נקודות, והביעו את $AB^2$ באמצעות $\cos\alpha$, $\sin\alpha$, $\cos\beta$ ו-$\sin\beta$. פשטו את הביטוי ככל האפשר.

היעזרו במשפט הקוסינוסים במשולש $AOB$ ובסעיף א, והוכיחו כי $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.

ידוע שהזהות שהוכחתם בסעיף ב נכונה לכל שתי זוויות $\alpha$ ו-$\beta$.

הציבו בזהות $-\beta$ במקום $\beta$, והסיקו נוסחה ל-$\cos(\alpha+\beta)$. חשבו בעזרתה את הערך המדויק של $\cos105^\circ$.