מבחן לדוגמה: אינטגרל של פולינום - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את האינטגרל הלא מסוים $\int f(x)\,dx$.

חשבו את $\int_{-1}^{2}g(x)\,dx$.

מצאו את $f(x)$.

מצאו את ערך המקסימום המקומי של הפונקציה.

הביעו את $I(a)$ באמצעות $a$.

מצאו את הערך של $a$ שעבורו $I(a)=0$.

מצאו את הערך הקטן ביותר של $I(a)$ בתחום $a>0$, ואת $a$ שבו הוא מתקבל.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac{3}{1\cdot2\cdot2}+\frac{4}{2\cdot3\cdot2^2}+\frac{5}{3\cdot4\cdot2^3}+\ldots+\frac{n+2}{n(n+1)\cdot2^n}=1-\frac{1}{(n+1)\cdot2^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCD ($AD\parallel BC$, $\angle BAD=\angle ABC=90^\circ$). האלכסון BD מאונך לשוק CD. אורך השוק CD גדול פי 1.5 מאורך הבסיס AD. נסמן: $\angle ADB=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)(x+2)$ ו-$g(x)=x^n(x+1)(x-2)$, המוגדרות לכל $x$. $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1. כל אחד מן הגרפים I-IV לפניכם מייצג אחת מן הפונקציות בעבור $n$ זוגי או $n$ אי-זוגי.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

חשבו את $\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)\,dx$.

מצאו את $a$.

$F(x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$. נתון כי לפונקציה $F(x)$ יש נקודת קיצון שבה $x=1$. מצאו את $b$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם ציר ה-$x$, וחשבו את $\int_{-3}^{1}f(x)\,dx$.