מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בגופים: קובייה, תיבה וגליל - כיתה י"א 5 יח"ל

תיבה פתוחה מלמעלה (ללא מכסה) שבסיסה ריבוע היא בעלת נפח של $32$ סמ"ק. נסמן ב-$x$ את אורך צלע הבסיס (בס"מ).

גליל סגור (בעל בסיס עליון ותחתון) הוא בעל נפח של $16\pi$ סמ"ק. נסמן ב-$R$ את רדיוס הבסיס וב-$h$ את גובה הגליל (בס"מ).

מפח ריבועי שצלעו $12$ ס"מ חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ס"מ, ומקפלים את השוליים לתיבה פתוחה מלמעלה (ראו איור).

מפח מלבני שמידותיו $40$ ס"מ על $25$ ס"מ מכינים תבנית אפייה פתוחה מלמעלה: חותכים בכל אחת מארבע הפינות ריבוע שצלעו $x$ ס"מ, ומקפלים את השוליים כלפי מעלה (ראו סרטוט).

כיפה בצורת חצי כדור שמרכזו $O$ ורדיוסו $3\sqrt3$ מ': כל נקודה על הכיפה נמצאת במרחק $3\sqrt3$ מ' מ-$O$. בתוך הכיפה מונחת תיבה שבסיסה ריבוע: הבסיס התחתון של התיבה מונח על בסיס הכיפה ומרכזו ב-$O$, וארבעת הקודקודים העליונים של התיבה נמצאים על הכיפה (ראו סרטוט).

מתכננים מיכל מים סגור בצורת גליל שנפחו $32\pi$ מ"ק. מחיר מ"ר של פח למעטפת הוא $200$ ש"ח, ומחיר מ"ר של פח לבסיסים (הבסיס התחתון והמכסה) גדול פי $k$, כאשר $k>1$ (פח הבסיסים עבה יותר). נסמן ב-$r$ את רדיוס הבסיס וב-$h$ את גובה המיכל (במטרים).