מבחן לדוגמה: הנגזרת השנייה לקביעת סוג הקיצון ומגבלותיה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את נקודות הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגן, ומצאו כמה נקודות פיתול יש ל-$f(x)$.

מצאו את $f''(x)$, והיעזרו בה כדי למצוא את נקודות הקיצון של $f(x)$ ולקבוע את סוגן.

מצאו את $a$ ואת נקודת המקסימום המקומי של הפונקציה.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של הנקודות שבהן $f'(x)=0$.

היעזרו בנגזרת השנייה, וקבעו בכל אחת מהנקודות שמצאתם בסעיף א אם יש בה נקודת קיצון ומה סוגה. בנקודה שבה הנגזרת השנייה אינה מאפשרת לקבוע, היעזרו בסימן הנגזרת הראשונה.

הראו כי הנקודה של גרף הפונקציה שבה $x=1$ היא נקודת פיתול שבה המשיק מקביל לציר ה-$x$, ומצאו את נקודת הפיתול הנוספת של הפונקציה.

האם יש ערך של $a$ שעבורו לפונקציה יש נקודת קיצון ב-$x=-1$? אם כן - מצאו אותו וקבעו את סוג הקיצון; אם לא - נמקו.

פונקציה $g(x)$ מקיימת $g'(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$, כאשר $N(x)$ ו-$D(x)$ גזירות. הוכיחו: אם $N(x_0)=0$ ו-$D(x_0)\ne0$, אז $g''(x_0)=\frac{N'(x_0)}{D(x_0)}$.

מצאו את $f'(x)$ ואת שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$. היעזרו בסעיף א כדי לקבוע את סוגן.

הראו כי $f''(x)=\frac{18}{(x+1)^3}$, וקבעו אם יש לפונקציה נקודות פיתול. נמקו.