מבחן לדוגמה: נגזרת של sin x והגבול sin x/x→1 - כיתה י"א 5 יח"ל

הסבירו מדוע $L$ הוא שיפוע המשיק לגרף $y=\sin x$ בנקודה שבה $x=\frac{\pi}{6}$, וחשבו את $L$.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f(x)$ בתחום.

היעזרו בנוסחה של $\sin(\alpha+\beta)$, והראו כי לכל $x$ ולכל $h\neq0$ מתקיים:

היעזרו בסעיף א ובגבולות הנתונים, והראו כי $(\sin x)'=\cos x$.

מצאו את שיעורי כל הנקודות על גרף הפונקציה $y=\sin x$ בתחום $0\le x\le2\pi$ שבהן שיפוע המשיק לגרף הוא $\frac12$, ואת שיעורי כל הנקודות בתחום זה שבהן המשיק לגרף מקביל לציר ה-$x$.

הוכיחו כי לכל $x>0$ מתקיים $\sin x<x$.

חשבו את $f'(0)$ לפי הגדרת הנגזרת, בעזרת הגבול $\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$ (בלי להשתמש בנוסחת הנגזרת של $\sin x$).

מצאו את $f'(x)$, והראו שהתוצאה מתאימה לסעיף א. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$ בתחום, ואת ערכי $f(x)$ בקצות התחום.

היעזרו בסעיף ב, והוכיחו כי $x=0$ הוא הפתרון היחיד של המשוואה $x+2\sin x=0$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$. הסבירו מדוע אין למשוואה זו פתרונות גם מחוץ לתחום הזה.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ בתחום $0\le x\le2\pi$, והוכיחו כי בתחום $0<x\le2\pi$ יש ל-$f(x)$ נקודת אפס אחת בלבד. נסמן אותה ב-$t$; הראו כי $\pi<t<\frac{3\pi}{2}$.

מצאו את נקודות הקיצון של $g(x)$ בתחום $0<x<2\pi$ וקבעו את סוגן. הראו כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שווה ל-$\cos t$.

הוכיחו כי $\cos t>-\frac1\pi$, וקבעו אם למשוואה $g(x)=-\frac1\pi$ יש פתרון בתחום $0<x\le2\pi$.

מצאו, לפי ערכי $m$, את מספר הפתרונות של המשוואה $g(x)=m$ בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$, $x\neq0$. הביעו את תשובתכם באמצעות $t$.