דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: מציאת הפתרון האופטימלי בתחום אפשרי סגור - כיתה י"ב 3 יח"ל

6 שאלות פתוחות על מציאת הפתרון האופטימלי בתחום אפשרי סגור (תכנון ליניארי), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 3 יח"ל
מציאת הפתרון האופטימלי בתחום אפשרי סגור
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · תכנון ליניארי: שקי מספוא לסוסשאלה מלאה · קלה

בחווה מאכילים סוס בשני סוגים של שקי מספוא: סוג א' וסוג ב'. כמות הסוכר וכמות הסיבים (ביחידות) בכל שק רשומות בטבלה.

סוג השקסוכרסיבים
סוג א'205
סוג ב'105

בכל שבוע הסוס צריך לקבל לכל היותר 100 יחידות סוכר ולפחות 30 יחידות סיבים. נסמן ב-xx את מספר השקים מסוג א' וב-yy את מספר השקים מסוג ב' בשבוע.

א.

רשמו את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב.

בסרטוט מתואר התחום האפשרי של הבעיה. קדקודיו הם PP ו-QQ שעל ציר ה-yy, והנקודה RR.

PQR

הראו כי R(4,2)R(4,2) היא נקודת החיתוך של שני ישרי האילוצים, ומצאו את שיעורי הקדקודים PP ו-QQ.

ג.

שק מסוג א' עולה 20 שקלים, ושק מסוג ב' עולה 50 שקלים.

רשמו את פונקציית המטרה.

ד.

כמה שקים מכל סוג כדאי לקנות בשבוע, כדי לעמוד בדרישות במחיר מינימלי? מהו המחיר?

שאלה 2 · תכנון ליניארי: מגשי שתילים במשתלהשאלה מלאה · קלה

התחום המסורטט מתקבל ממערכת אילוצים של משתלה, המגדלת בכל שבוע xx מגשי שתילי פטרוזיליה ו-yy מגשי שתילי נענע.

ABCD

הצלע ABAB מונחת על הישר y=x+2y=x+2, הצלע BCBC מונחת על הישר y=−x+10y=-x+10, הצלע CDCD מונחת על הישר x=6x=6, והצלע ADAD מונחת על הישר y=2y=2. נתון: A(0,2)A(0,2), D(6,2)D(6,2).

א.

מצאו את שיעורי הקדקודים BB ו-CC.

ב.

הרווח מכל מגש פטרוזיליה הוא 5 שקלים, והרווח מכל מגש נענע הוא 2 שקלים.

רשמו את פונקציית המטרה.

ג.

כמה מגשים מכל סוג כדאי למשתלה לגדל, כדי שהרווח יהיה מקסימלי? מהו הרווח?

ד.

הראו שאם הרווח ממגש פטרוזיליה יהיה שקל אחד והרווח ממגש נענע יהיה 4 שקלים, הרווח המקסימלי יתקבל בקדקוד BB. האם הוא גדול מהרווח המקסימלי שמצאתם בסעיף ג?

שאלה 3 · מציאת הפתרון האופטימלי בתחום אפשרי סגורשאלה קצרה · בינונית

במפעל רהיטים מייצרים ספות וכורסאות. נסמן ב-xx את מספר הספות וב-yy את מספר הכורסאות שמייצרים במחזור ייצור. האילוצים של מחזור ייצור הם:

2x+y≤182x+y\le18 (שעות חיתוך)

x+2y≤18x+2y\le18 (שעות ריפוד)

x≥0x\ge0, y≥0y\ge0

א.

מהו מספר הרהיטים הגדול ביותר (ספות וכורסאות יחד) שהמפעל יכול לייצר במחזור ייצור אחד?

ב.

חנות רהיטים מבקשת להזמין במחזור הקרוב לפחות 1313 רהיטים בסך הכול. האם המפעל יכול לעמוד בהזמנה? נמקו.

שאלה 4 · מציאת הפתרון האופטימלי בתחום אפשרי סגורשאלה קצרה · בינונית

נגרייה מייצרת כיסאות ושולחנות. נסמן ב-xx את מספר הכיסאות וב-yy את מספר השולחנות שהנגרייה מייצרת בשבוע.

התחום האפשרי של הבעיה הוא המחומש שבסרטוט, שקודקודיו O(0,0)O(0,0), A(0,20)A(0,20), B(12,16)B(12,16), C(20,8)C(20,8) ו-D(24,0)D(24,0).

05101520253005101520OA(0,20)B(12,16)C(20,8)D(24,0)
א.

הרווח מכיסא הוא 50 ש"ח והרווח משולחן הוא 40 ש"ח. כמה כיסאות וכמה שולחנות כדאי לנגרייה לייצר כדי שהרווח יהיה מקסימלי? מהו הרווח המקסימלי?

ב.

הרווח מכיסא ירד ל-30 ש"ח, והרווח משולחן עלה ל-70 ש"ח. כמה כיסאות וכמה שולחנות כדאי לייצר עכשיו, ומהו הרווח המקסימלי?

שאלה 5 · שתי מאפיות: השוואת רווח מקסימלי ושינוי באילוץשאלת ביניים · קשה

שתי מאפיות, מאפייה א' ומאפייה ב', מכינות שני סוגי עוגות: עוגות שוקולד ועוגות גבינה.

נסמן: xx - מספר עוגות השוקולד, yy - מספר עוגות הגבינה.

מערכת האילוצים של מאפייה א' היא: x≥0x\ge0, y≥0y\ge0, y≤2x+10y\le2x+10, x+y≤70x+y\le70.

מערכת האילוצים של מאפייה ב' היא: x≥0x\ge0, y≥0y\ge0, x≤40x\le40, y≤0.5x+40y\le0.5x+40.

בשני הגרפים: ציר xx - עוגות שוקולד, ציר yy - עוגות גבינה.

גרף 1
OMNR
גרף 2
OFGH

גרף 1 מתאר את התחום האפשרי של מאפייה א', וגרף 2 מתאר את התחום האפשרי של מאפייה ב'. קדקודי התחום בגרף 1 הם OO, MM, NN ו-RR, וקדקודי התחום בגרף 2 הם OO, FF, GG ו-HH.

א.

הרווח של כל מאפייה על עוגת שוקולד הוא 40 שקלים, ועל עוגת גבינה - 60 שקלים.

כתבו את פונקציית המטרה של הרווח של המאפיות ממכירת העוגות.

ב.

קבעו באיזו מן המאפיות, מאפייה א' או מאפייה ב', הרווח המקסימלי על העוגות הוא גבוה יותר. מהו הרווח המקסימלי של מאפייה זו?

ג.

מאפייה א' הגדילה את כושר הייצור שלה: האילוץ x+y≤70x+y\le70 הוחלף באילוץ x+y≤100x+y\le100. שאר האילוצים של שתי המאפיות והרווחים על העוגות לא השתנו.

האם עכשיו הרווח המקסימלי של מאפייה א' גבוה מהרווח המקסימלי של מאפייה ב', שמצאתם בסעיף ב? אם כן, בכמה שקלים?

שאלה 6 · תכנון ליניארי: מאחוז השינוי לרווח המקסימלי ובחזרהשאלה מלאה · קשה

מפעל מייצר בכל יום שני סוגים של מנורות – מנורות שולחן ומנורות רצפה.

נסמן ב-xx את מספר מנורות השולחן וב-yy את מספר מנורות הרצפה שהמפעל מייצר ביום אחד.

לפניכם מערכת האילוצים של הייצור במפעל ביום אחד:

x≥0x\ge 0

y≥0y\ge 0

x+y≤50x+y\le 50

x+3y≤90x+3y\le 90

הרווח של המפעל ממנורת שולחן אחת הוא 30 שקלים, והרווח ממנורת רצפה אחת הוא 40 שקלים. כל המנורות שמיוצרות נמכרות.

א.

סרטטו את התחום האפשרי ומצאו את כל קדקודיו.

ב.

כמה מנורות מכל סוג צריך לייצר ביום אחד כדי שהרווח יהיה מקסימלי? מהו הרווח המקסימלי?

ג.

הרווח ממנורת רצפה אחת גדל ב-p%p\%, והרווח ממנורת שולחן לא השתנה. לאחר השינוי הרווח המקסימלי של המפעל ביום אחד הוא 1,940 שקלים. מצאו את pp.

ד.

נניח עכשיו שהרווח ממנורת רצפה גדל ב-q%q\% (q>0q>0), והרווח ממנורת שולחן לא השתנה. בעבור אילו ערכים של qq הפתרון האופטימלי שמצאתם בסעיף ב נשאר פתרון אופטימלי (אולי לא היחיד)?

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.