מבחן לדוגמה: נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה - כיתה י"ב 3 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 3 יח"ל

נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · האם אפשר לייצר 5 שולחנות ו-8 כיסאות: בדיקת נקודה בכל האילוציםשאלה קצרה · קלה

בנגרייה מייצרים שולחנות וכיסאות. כל רהיט עובר הרכבה וצביעה.
במחזור עבודה אחד אפשר להקדיש להרכבה 24 שעות לכל היותר ולצביעה 30 שעות לכל היותר.
זמן הרכבה (בשעות)זמן צביעה (בשעות)
שולחן32
כיסא13
נסמן ב-xxx את מספר השולחנות וב-yyy את מספר הכיסאות שמייצרים במחזור עבודה אחד.
בסרטוט שלפניכם מוצגים שני ישרי האילוצים, I ו-II, והתחום האפשרי.
III

	זמן הרכבה (בשעות)	זמן צביעה (בשעות)
שולחן	3	2
כיסא	1	3

האם אפשר לייצר במחזור עבודה אחד 5 שולחנות ו-8 כיסאות? נמקו.

שאלה 2 · תכנון ליניארי: שולחנות וכיסאות בנגרייהשאלה מלאה · קלה

נגרייה מייצרת שולחנות וכיסאות. נסמן ב-xxx את מספר השולחנות וב-yyy את מספר הכיסאות שהנגרייה מייצרת ביום.
מגבלות הזמן והחומר בנגרייה מתוארות במערכת האילוצים:
x≥0,y≥0,x+y≤10,x+2y≤14x\ge0,\quad y\ge0,\quad x+y\le10,\quad x+2y\le14x≥0,y≥0,x+y≤10,x+2y≤14
לפניכם סרטוט של התחום האפשרי.
OABC

א.

הנגרייה רוצה לייצר ביום מסוים 4 שולחנות ו-6 כיסאות. האם זה אפשרי? נמקו.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA, BBB ו-CCC שבסרטוט.

ג.

הרווח מכל שולחן הוא 40 שקלים, והרווח מכל כיסא הוא 50 שקלים.

כתבו את פונקציית המטרה, ומצאו כמה שולחנות וכמה כיסאות צריך לייצר ביום כדי שהרווח יהיה מקסימלי. מהו הרווח המקסימלי?

ד.

ביום מסוים ייצרה הנגרייה 5 שולחנות ו-3 כיסאות.

בכמה קטן הרווח באותו יום מן הרווח המקסימלי?

שאלה 3 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · בינונית

מפעל לרהיטי גן מייצר שולחנות וספסלים. נסמן ב-xxx את מספר השולחנות וב-yyy את מספר הספסלים שהמפעל מייצר ביום. האילוצים:
2x+y≤402x+y\le402x+y≤40 (יחידות עץ)
x+y≤30x+y\le30x+y≤30 (שעות צביעה)
x≥0x\ge0x≥0, y≥0y\ge0y≥0
הרווח משולחן הוא 300300300 שקלים, והרווח מספסל הוא 200200200 שקלים.

א.

כמה שולחנות וכמה ספסלים כדאי למפעל לייצר ביום כדי שהרווח יהיה מקסימלי? מהו הרווח המקסימלי?

ב.

התקבלה הזמנה קבועה שמחייבת את המפעל לייצר לפחות 121212 שולחנות ביום. האם התוכנית שמצאתם בסעיף א עדיין אפשרית? מהו עכשיו הרווח המקסימלי, ובאיזו תוכנית הוא מתקבל?

שאלה 4 · תכנון ליניארי: אוטובוסים ומיניבוסים לטיולשאלה מלאה · בינונית

מפעל מסוים מארגן טיול לעובדים ולילדיהם.
למטרה זו המפעל מעוניין להזמין אוטובוסים ומיניבוסים.
נסמן ב-xxx את מספר האוטובוסים שהמפעל יזמין, ונסמן ב-yyy את מספר המיניבוסים שהמפעל יזמין.
•העובדים יסעו: 40 בכל אוטובוס ו-10 בכל מיניבוס.
•הילדים יסעו: 5 בכל אוטובוס ו-10 בכל מיניבוס.
לטיול רוצים לצאת לפחות 360 עובדים ולפחות 80 ילדים.
המפעל יכול להזמין לכל היותר 15 אוטובוסים ומיניבוסים ביחד.

א.

רשום את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב.

המחיר עבור הזמנת אוטובוס לטיול הוא 1,000 ש"ח.
המחיר עבור הזמנת מיניבוס לטיול הוא 600 ש"ח.

רשום את פונקציית המטרה המתאימה לבעיה.

ג.

לפניך סרטוט של התחום האפשרי המתאים לבעיה, המתקבל ממערכת האילוצים שרשמת בסעיף א.
הנקודות AAA, BBB ו-CCC שבסרטוט הן קודקודי התחום האפשרי (ציר xxx - מספר האוטובוסים, ציר yyy - מספר המיניבוסים).
02468101214160246810A(7,8)B(8,4)C(14,1)

מצא כמה אוטובוסים וכמה מיניבוסים כדאי למפעל להזמין כדי שההוצאות שלו תהיינה מינימליות.

ד.

האם הזמנה של 9 אוטובוסים ו-8 מיניבוסים נמצאת בתחום האפשרי המתאים לבעיה?

שאלה 5 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · קשה

במפעל צעצועים מייצרים רכבות עץ ובתי בובות. צביעת רכבת נמשכת 333 שעות וצביעת בית בובות נמשכת 222 שעות, ויש לכל היותר 363636 שעות צביעה ביום. לרכבת דרוש לוח עץ אחד ולבית בובות 222 לוחות עץ, ויש לכל היותר 242424 לוחות עץ ביום. נסמן ב-xxx את מספר הרכבות וב-yyy את מספר בתי הבובות שמייצרים ביום.

א.

רון טוען: "התוכנית של 222 רכבות ו-151515 בתי בובות מנצלת בדיוק את כל 363636 שעות הצביעה, ולכן הנקודה (2,15)(2,15)(2,15) נמצאת על גבול התחום האפשרי, והתוכנית אפשרית". האם רון צודק? נמקו.

ב.

כמה בתי בובות לכל היותר אפשר לייצר ביום שבו מייצרים 222 רכבות?

שאלה 6 · רכישת מחשבים לבית ספר: תוכנית מחוץ לתחום, תיקון התוכנית ומספר המכשירים הגדול ביותרשאלת ביניים · קשה

בית ספר קונה מחשבים ניידים וטאבלטים. מחשב נייד עולה 2,0002{,}0002,000 שקלים וטאבלט עולה 1,0001{,}0001,000 שקלים, ותקציב הרכישה הוא 40,00040{,}00040,000 שקלים לכל היותר. צריך לקנות לפחות 242424 מכשירים בסך הכול, ומספר הטאבלטים יהיה לכל היותר פי 222 ממספר המחשבים הניידים.
נסמן ב-xxx את מספר המחשבים הניידים וב-yyy את מספר הטאבלטים שבית הספר קונה. מערכת האילוצים של הבעיה היא:
2x+y≤40,x+y≥24,y≤2x,x≥0,y≥02x+y\le40,\qquad x+y\ge24,\qquad y\le2x,\qquad x\ge0,\qquad y\ge02x+y≤40,x+y≥24,y≤2x,x≥0,y≥0
(האילוץ 2x+y≤402x+y\le402x+y≤40 הוא אילוץ התקציב, באלפי שקלים.)

א.

רכז המחשוב הציע לקנות 666 מחשבים ניידים ו-202020 טאבלטים. האם התוכנית אפשרית? אם לא - איזה אילוץ אינו מתקיים, ומה המשמעות של זה בהקשר של הבעיה?

ב.

בית הספר החליט לקנות 202020 טאבלטים. כמה מחשבים ניידים לכל הפחות צריך לקנות כדי שהתוכנית תהיה אפשרית? הראו שזה גם המספר הגדול ביותר של מחשבים ניידים שאפשר לקנות יחד עם 202020 טאבלטים.

ג.

הראו שבתוכנית שמצאתם בסעיף ב בית הספר קונה את מספר המכשירים הגדול ביותר שאפשר לקנות במסגרת האילוצים.

שאלה 1 · האם אפשר לייצר 5 שולחנות ו-8 כיסאות: בדיקת נקודה בכל האילוציםשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · תכנון ליניארי: שולחנות וכיסאות בנגרייהשאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · בינונית

שאלה 4 · תכנון ליניארי: אוטובוסים ומיניבוסים לטיולשאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · רכישת מחשבים לבית ספר: תוכנית מחוץ לתחום, תיקון התוכנית ומספר המכשירים הגדול ביותרשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד