שאלות פתוחות: נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה - כיתה י"ב 3 יח"ל

נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו, והמשמעות שלה בהקשר הבעיה - שאלות לכיתה י"ב 3 יחידות. התלמידים בודקים אם תוכנית ייצור מסוימת אפשרית, ואם לא - איזה אילוץ היא מפרה: סדנה למנורות ושעונים, מפעל צעצועים, מפעל לרהיטי גן, קונדיטוריה עם מקום מוגבל בתנור ומארזי שי. יש גם טיול של יום שלם שבו בודקים אם שילוב של כריכים וחטיפים מספק מספיק קלוריות וחלבון. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. השאלות מתאימות לבוחן או לדיון בכיתה, ולכל אחת מצורף פתרון מלא.

38 שאלותקלה: 11בינונית: 23קשה: 4

שאלה 1 · תכנון ליניארי: מפעל חולצות אחדשאלה מלאה · קלה

מפעל מייצר חולצות ארוכות וחולצות קצרות. נסמן: xxx - מספר החולצות הארוכות, yyy - מספר החולצות הקצרות.
מערכת האילוצים של המפעל היא: x≥0x\ge0x≥0, y≥0y\ge0y≥0, y≤50y\le50y≤50, y≥2x−40y\ge2x-40y≥2x−40.
בגרף שלפניכם התחום האפשרי OABCOABCOABC (ציר xxx - חולצות ארוכות, ציר yyy - חולצות קצרות).
OABC

א.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-CCC של התחום האפשרי.

ב.

הרווח של המפעל על חולצה ארוכה הוא 40 שקלים, ועל חולצה קצרה - 20 שקלים.

כתבו את פונקציית המטרה של הרווח, ומצאו כמה חולצות מכל סוג צריך לייצר כדי שהרווח יהיה מקסימלי. מהו הרווח המקסימלי?

ג.

האם המפעל יכול לייצר 30 חולצות ארוכות ו-10 חולצות קצרות? נמקו.

שאלה 2 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · בינונית

בסדנה מרכיבים מנורות ושעונים. בכל יום אפשר להרכיב לכל היותר 303030 מוצרים (משני הסוגים יחד). הרכבת מנורה נמשכת 222 שעות והרכבת שעון נמשכת שעה אחת, ויש לכל היותר 404040 שעות הרכבה ביום. הרווח ממנורה הוא 606060 שקלים, והרווח משעון הוא 404040 שקלים. נסמן ב-xxx את מספר המנורות וב-yyy את מספר השעונים שמרכיבים ביום.
ביום מסוים הרכיבו בסדנה 121212 מנורות.

א.

מנהל הסדנה רוצה שהרווח באותו יום יהיה 1,4001{,}4001,400 שקלים. כמה שעונים צריך להרכיב באותו יום כדי להגיע לרווח זה? האם התוכנית אפשרית? נמקו.

ב.

מהו הרווח הגדול ביותר שאפשר להגיע אליו באותו יום?

שאלה 3 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · קשה

במפעל צעצועים מייצרים רכבות עץ ובתי בובות. צביעת רכבת נמשכת 333 שעות וצביעת בית בובות נמשכת 222 שעות, ויש לכל היותר 363636 שעות צביעה ביום. לרכבת דרוש לוח עץ אחד ולבית בובות 222 לוחות עץ, ויש לכל היותר 242424 לוחות עץ ביום. נסמן ב-xxx את מספר הרכבות וב-yyy את מספר בתי הבובות שמייצרים ביום.

א.

רון טוען: "התוכנית של 222 רכבות ו-151515 בתי בובות מנצלת בדיוק את כל 363636 שעות הצביעה, ולכן הנקודה (2,15)(2,15)(2,15) נמצאת על גבול התחום האפשרי, והתוכנית אפשרית". האם רון צודק? נמקו.

ב.

כמה בתי בובות לכל היותר אפשר לייצר ביום שבו מייצרים 222 רכבות?

שאלה 4 · תכנון ליניארי: ערכות משחק לגןשאלה מלאה · קלה

חנות צעצועים מכינה ערכות משחק משני סוגים: ערכה רגילה ובה כדור אחד וחבל קפיצה אחד, וערכה מורחבת ובה 2 כדורים וחבל קפיצה אחד.
החנות חייבת להזמין מהספק לפחות 10 כדורים, ולכל היותר 12 חבלי קפיצה.
סמנו ב-xxx את מספר הערכות הרגילות וב-yyy את מספר הערכות המורחבות.

א.

רשמו את מערכת האילוצים: אילוץ לכדורים, אילוץ לחבלי הקפיצה ואילוצי אי-שליליות.

ב.

סרטטו את התחום האפשרי ומצאו את קודקודיו.

ג.

החנות מוכרת ערכה רגילה ב-35 שקלים וערכה מורחבת ב-55 שקלים.

רשמו את פונקציית המטרה.

ד.

כמה ערכות מכל סוג יש למכור כדי שההכנסה תהיה מקסימלית? מהי ההכנסה המקסימלית?

ה.

גן ילדים הזמין 4 ערכות רגילות ו-10 ערכות מורחבות.

האם החנות יכולה לספק את ההזמנה? נמקו.

שאלה 5 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · בינונית

מפעל לרהיטי גן מייצר שולחנות וספסלים. נסמן ב-xxx את מספר השולחנות וב-yyy את מספר הספסלים שהמפעל מייצר ביום. האילוצים:
2x+y≤402x+y\le402x+y≤40 (יחידות עץ)
x+y≤30x+y\le30x+y≤30 (שעות צביעה)
x≥0x\ge0x≥0, y≥0y\ge0y≥0
הרווח משולחן הוא 300300300 שקלים, והרווח מספסל הוא 200200200 שקלים.

א.

כמה שולחנות וכמה ספסלים כדאי למפעל לייצר ביום כדי שהרווח יהיה מקסימלי? מהו הרווח המקסימלי?

ב.

התקבלה הזמנה קבועה שמחייבת את המפעל לייצר לפחות 121212 שולחנות ביום. האם התוכנית שמצאתם בסעיף א עדיין אפשרית? מהו עכשיו הרווח המקסימלי, ובאיזו תוכנית הוא מתקבל?

שאלה 6 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · קשה

בקונדיטוריה מכינים עוגות ומגשי עוגיות. בתנור יש מקום לכל היותר ל-121212 פריטים (עוגות ומגשים יחד) ביום. קישוט עוגה נמשך 333 שעות וקישוט מגש עוגיות נמשך שעה אחת, ויש לכל היותר 242424 שעות קישוט ביום. נסמן ב-xxx את מספר העוגות וב-yyy את מספר מגשי העוגיות שמכינים ביום.
התקבלה הזמנה ל-121212 עוגות ו-888 מגשי עוגיות.

ההזמנה צריכה להיות מוכנה בעוד יומיים, ואפשר לחלק את העבודה בין שני הימים, כשבכל יום צריך לעמוד במגבלות התנור והקישוט. האם אפשר לעמוד בהזמנה? אם כן, הציעו חלוקה של העבודה בין שני הימים ובדקו אותה; אם לא, נמקו.

שאלה 7 · תכנון ליניארי: כריכים וחטיפים לטיולשאלה מלאה · קלה

שירה יוצאת לטיול של יום שלם. היא לוקחת איתה רק כריכים וחטיפי אנרגיה.
בטבלה שלפניכם נתונים מספר הקלוריות וכמות החלבון בכריך אחד ובחטיף אחד.
סוג המנהמספר הקלוריותכמות החלבון (בגרם)
כריך30030
חטיף אנרגיה15010
שירה רוצה לאכול במהלך הטיול 2,400 קלוריות לכל היותר, ו-60 גרם חלבון לפחות.
סמנו ב-xxx את מספר הכריכים וב-yyy את מספר החטיפים.

סוג המנה	מספר הקלוריות	כמות החלבון (בגרם)
כריך	300	30
חטיף אנרגיה	150	10

א.

הראו כי אילוץ הקלוריות הוא 2x+y≤162x+y\le162x+y≤16.

ב.

כתבו את אילוץ החלבון ואת האילוצים על סימן המשתנים.

ג.

סרטטו את התחום האפשרי ומצאו את קדקודיו. (הדרכה: כל קדקודי התחום נמצאים על הצירים.)

ד.

מחיר של כריך הוא 12 שקלים, ומחיר של חטיף אנרגיה הוא 5 שקלים.

מצאו כמה כריכים וכמה חטיפים שירה צריכה לקחת כדי שהמחיר יהיה הנמוך ביותר, ומהו המחיר.

ה.

האם שירה יכולה לקחת כריך אחד ו-2 חטיפים? נמקו.

שאלה 8 · נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיהשאלה קצרה · בינונית

בחנות ממתקים מרכיבים מארזי שי מחפיסות שוקולד ומחטיפים. בכל מארז יש לכל היותר 202020 פריטים. משקל חפיסת שוקולד הוא 150150150 גרם, משקל חטיף הוא 505050 גרם, ומשקל מארז הוא לכל היותר 1,5001{,}5001,500 גרם.

האם ייתכן שבמארז אחד יש 999 חפיסות שוקולד ו-444 חטיפים? נמקו.

שאלה 9 · תכנון ליניארי עם פרמטר ברווחשאלה מלאה · קשה

סדנה מייצרת xxx צמידים ו-yyy שרשראות ביום. התחום האפור בסרטוט הוא התחום האפשרי.
משוואת הישר BC היא y=0.5x+3y=0.5x+3y=0.5x+3, ומשוואת הישר AC היא y=−x+15y=-x+15y=−x+15. הנקודות A ו-B נמצאות על ציר ה-yyy.
על כל שרשרת הסדנה מרוויחה 10 שקלים, ועל כל צמיד היא מרוויחה aaa שקלים (a>0a>0a>0).
ABC

א.

כתבו את מערכת האילוצים המתארת את התחום האפור.

ב.

לאילו ערכים של aaa הרווח המקסימלי מתקבל בנקודה C בלבד? מה קורה כאשר aaa שווה לערך הגבול?

ג.

נתון שהרווח המקסימלי של הסדנה הוא 310 שקלים ביום. מצאו את aaa.

ד.

עבור aaa שמצאתם, האם הסדנה יכולה להרוויח בדיוק 250 שקלים ביום כשהיא מייצרת 4 צמידים? נמקו.

שאלה 10 · תכנון ליניארי: עוגות שוקולד וגבינה בתחום נתוןשאלה מלאה · קלה

מאפייה מכינה בכל יום עוגות משני סוגים: עוגות שוקולד ועוגות גבינה.
בתנור של המאפייה אפשר לאפות 12 עוגות ביום לכל היותר.
בטבלה שלפניכם מוצגת כמות הקמח (בכוסות) הדרושה לכל עוגה.
כמות הקמח (כוסות)
עוגת שוקולד3
עוגת גבינה1
בכל יום יש במאפייה 24 כוסות קמח לכל היותר.
הרווח מכל עוגת שוקולד הוא 50 שקלים ומכל עוגת גבינה 30 שקלים.
סמנו ב-xxx את מספר עוגות השוקולד וב-yyy את מספר עוגות הגבינה.
בסרטוט שלפניכם התחום האפשרי של הבעיה הוא המרובע OABCOABCOABC (השטח הצבוע).
OABC

	כמות הקמח (כוסות)
עוגת שוקולד	3
עוגת גבינה	1

א.

כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב.

כתבו את פונקציית המטרה.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-CCC של התחום האפשרי.

ד.

כמה עוגות מכל סוג צריך להכין ביום אחד כדי שהרווח יהיה מקסימלי? מהו הרווח המקסימלי?

ה.

האם אפשר להכין ביום אחד 7 עוגות שוקולד ו-4 עוגות גבינה? נמקו.

עוד 23 שאלות על נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תכנון ליניארי: ערכות ציוד משרדי (שאלה מלאה · בינונית)
בחנות לציוד משרדי מכינים ערכות משני סוגים: ערכה א' וערכה ב'. הרכב הערכות מתואר בטבלה הבאה: לצורך הכנת הערכות החנות קונה ציוד מספק. לפי ההסכם…
רכישת מחשבים לבית ספר: תוכנית מחוץ לתחום, תיקון התוכנית ומספר המכשירים הגדול ביותר (שאלת ביניים · קשה)
בית ספר קונה מחשבים ניידים וטאבלטים. מחשב נייד עולה $2{,}000$ שקלים וטאבלט עולה $1{,}000$ שקלים, ותקציב הרכישה הוא $40{,}000$ שקלים לכל…
תכנון ליניארי: קודקודים ופתרון אופטימלי (שאלה מלאה · קלה)
מאפייה מייצרת $x$ עוגות ו- $y$ לחמניות בשעה. התחום האפור בסרטוט הוא התחום האפשרי, והוא מתאר את מערכת האילוצים:…
נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה (שאלה קצרה · בינונית)
מפעל מייצר מקררים ותנורים. $x$ - מספר המקררים ו- $y$ - מספר התנורים שהמפעל מייצר ביום. האילוצים של המפעל: $2x+3y\le60$ (שעות עבודה),…
תכנון ליניארי: סלסלות עוגיות ומאפינס (שאלה מלאה · קלה)
לקראת יריד בית ספרי, תלמידים מכינים סלסלות של עוגיות ומאפינס. נסמן ב- $x$ את מספר העוגיות בסלסלה וב- $y$ את מספר המאפינס בסלסלה. מערכת…
תכנון ליניארי: עגבניות ופלפלים בחממה (שאלה מלאה · בינונית)
שירה מגדלת עגבניות ופלפלים בחממות ששטחן הכולל 12 דונם לכל היותר. להשקיית דונם אחד של עגבניות דרושים 3,000 מ"ק מים בעונה. להשקיית דונם אחד של…
תכנון ליניארי: שולחנות וכיסאות עם תחום מסורטט (שאלה מלאה · קלה)
בנגרייה מייצרים שולחנות וכיסאות. כל רהיט עובר הרכבה וצביעה. במחזור עבודה אחד אפשר להקדיש להרכבה 24 שעות לכל היותר ולצביעה 30 שעות לכל היותר.…
תכנון ליניארי: שולחנות וכיסאות (שאלה מלאה · בינונית)
התחום האפור בסרטוט שלפניכם מתקבל ממערכת אילוצים של נגרייה שמייצרת $x$ שולחנות ו- $y$ כיסאות ביום. משוואת הישר BC היא $y=2x+3$ . משוואת הישר AC…
תכנון ליניארי: שולחנות וכיסאות בנגרייה (שאלה מלאה · קלה)
נגרייה מייצרת שולחנות וכיסאות. נסמן ב- $x$ את מספר השולחנות וב- $y$ את מספר הכיסאות שהנגרייה מייצרת ביום. מגבלות הזמן והחומר בנגרייה מתוארות…
נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה (שאלה קצרה · בינונית)
חקלאי שותל $x$ דונם חיטה ו- $y$ דונם שעורה. האילוצים שלו הם: $x+y\le12,\qquad y\ge2x-3,\qquad x\ge0,\qquad y\ge0$
שתי מכונות: אילוצים ובדיקת תוכנית ייצור (שאלה מלאה · קלה)
בסדנה יש שתי מכונות, $A$ ו- $B$ . ביום אחד אפשר להפעיל את מכונה $A$ $14$ שעות לכל היותר ואת מכונה $B$ $16$ שעות לכל היותר. בסדנה מייצרים מדפים…
תכנון ליניארי: ערכות עטים ומחברות (שאלה מלאה · בינונית)
חנות לציוד משרדי מוכרת ערכות כתיבה לתלמידים. בכל ערכה יש פריטים משני סוגים: עטים ומחברות. המשקל של עט אחד הוא 20 גרם והמשקל של מחברת אחת הוא…
תכנון ליניארי: חולצות ומכנסיים (שאלה מלאה · קלה)
מפעל קטן מייצר חולצות ומכנסיים, ואורז אותם בקרטונים. לייצור קרטון חולצות נדרשות 2 שעות גזירה ושעה אחת של תפירה. לייצור קרטון מכנסיים נדרשות…
נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה (שאלה קצרה · בינונית)
בית קפה מכין מגשי אירוח ובהם כריכים ומאפים. נסמן ב- $x$ את מספר הכריכים במגש וב- $y$ את מספר המאפים במגש. מערכת האילוצים של הבעיה היא:…
האם אפשר לייצר 5 שולחנות ו-8 כיסאות: בדיקת נקודה בכל האילוצים (שאלה קצרה · קלה)
בנגרייה מייצרים שולחנות וכיסאות. כל רהיט עובר הרכבה וצביעה. במחזור עבודה אחד אפשר להקדיש להרכבה 24 שעות לכל היותר ולצביעה 30 שעות לכל היותר.…
תכנון ליניארי: מארזי סבונים ונרות (שאלה מלאה · בינונית)
חנות למוצרי טיפוח מוכרת מארזי מתנה. בכל מארז יש מוצרים משני סוגים: סבונים ונרות ריחניים. החנות משלמת 6 שקלים על כל סבון ו-15 שקלים על כל נר.…
מאפייה עם שלוש עמדות: אילוצים וניצול העמדות (שאלה מלאה · בינונית)
במאפייה יש שלוש עמדות עבודה: לישה, אפייה ואריזה. במאפייה מכינים שני מוצרים: עוגות ועוגיות. כל מוצר עובר בכל שלוש העמדות. ביום עבודה אחד אפשר…
נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה (שאלה קצרה · בינונית)
במפעל שתי מכונות, $A$ ו- $B$ . מסמנים ב- $x$ את מספר היחידות של מוצר א וב- $y$ את מספר היחידות של מוצר ב שמייצרים ביום. אילוצי שעות העבודה של…
תכנון ליניארי: אוטובוסים ומיניבוסים לטיול (שאלה מלאה · בינונית)
מפעל מסוים מארגן טיול לעובדים ולילדיהם. למטרה זו המפעל מעוניין להזמין אוטובוסים ומיניבוסים. נסמן ב- $x$ את מספר האוטובוסים שהמפעל יזמין,…
תכנון ליניארי: שקי דשן לשדה (שאלה מלאה · בינונית)
חקלאי רוצה לדשן שדה בשני סוגי דשן שנמכרים בשקים: דשן "צמיחה" ודשן "פרי". נסמן ב- $x$ את מספר שקי "צמיחה" שהחקלאי יקנה, ונסמן ב- $y$ את מספר…
נקודה בתוך התחום האפשרי או מחוצה לו: המשמעות בהקשר הבעיה (שאלה קצרה · בינונית)
אולם אירועים מסדר לחתונה שולחנות עגולים ושולחנות ארוכים. נסמן ב- $x$ את מספר השולחנות העגולים וב- $y$ את מספר השולחנות הארוכים. ליד שולחן עגול…
הזמנה של ערכות ציוד משרדי: האם היא בתחום האפשרי ומה ההכנסה ממנה (שאלה קצרה · בינונית)
בחנות לציוד משרדי מכינים ערכות משני סוגים: ערכה א' וערכה ב'. הרכב הערכות מתואר בטבלה הבאה: לצורך הכנת הערכות החנות קונה ציוד מספק. לפי ההסכם…
שתי מכונות בסדנה: אילוצים, שעות פנויות ותוכנית שמנצלת את שתיהן (שאלת ביניים · בינונית)
בסדנה יש שתי מכונות, $A$ ו- $B$ . ביום אחד אפשר להפעיל את מכונה $A$ $14$ שעות לכל היותר ואת מכונה $B$ $16$ שעות לכל היותר. בסדנה מייצרים מדפים…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

תכנון ליניארי: זרים בחנות פרחים · בגרות 372 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 3
בחנות הפרחים של יוסי מוכרים זרים משני סוגים: זר גדול וזר קטן. הרכבי הזרים מתוארים בטבלה הבאה: לצורך הכנת הזרים יוסי קונה פרחים ממשתלה. לפי הסיכום עם המשתלה, הוא…
תכנון ליניארי: בצל וגזר בשדה · בגרות 372 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 2
נדב מגדל בצל וגזר בשדה ששטחו 11 דונם לכל היותר. כדי לגדל בצל בדונם אחד דרושים 2 ימי עבודה. כדי לגדל גזר בדונם אחד דרושים 7 ימי עבודה. לרשות נדב עומדים לכל היותר…
תכנון ליניארי: סוכריות ומסטיקים · בגרות 372 חורף 2024, שאלה 2
התחום האפור בסרטוט שלפניכם מתקבל ממערכת אילוצים של מפעל שמייצר $x$ סוכריות ו- $y$ מסטיקים בדקה. משוואת הישר BC היא $y=x+4$ . משוואת הישר AC היא $y=-0.5x+13$ .…
תכנון ליניארי: מארזי שוקולד וחטיפים · בגרות 372 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
בחנות ממתקים מוכרים מארזי שי לחג. בכל מארז יש פריטים משני סוגים: חפיסות שוקולד וחטיפים. המשקל של חפיסת שוקולד אחת הוא 150 גרם והמשקל של חטיף אחד הוא 50 גרם. בכל…
שלוש מכונות ושני מוצרים: אילוצים וניצול המכונות · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 372, שאלה 3
במפעל פועלות שלוש מכונות: $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ . המכונות משמשות להכנת שני סוגי מוצרים: מוצר א ומוצר ב. כל אחד מהמוצרים חייב לעבור עיבוד בכל אחת משלוש המכונות.…