מבחן לדוגמה: מעבר בין איבר כללי לכלל נסיגה - כיתה י"ב 4 יח"ל

רשמו את שתי הסדרות בנוסחה לפי מקום.

מצאו באיזה מקום $n$ מתקיים $a_n=b_n$, ואת ערך האיברים במקום זה.

הסבירו מדוע הסדרה חשבונית, ומצאו את נוסחת האיבר הכללי שלה.

הראו כי הסדרה חשבונית, ומצאו את הערכים האפשריים של $k$.

מצאו את $a_{10}$ עבור כל אחד מערכי $k$ שמצאתם.

רשמו את הסדרה $a_n$ בנוסחה לפי מקום, ורשמו את הסדרה $b_n$ בכלל נסיגה.

מצאו את המקום $n$ שבו $a_n=b_n$, ואת ערך האיברים במקום זה.

מצאו את כל המקומות $n$ שבהם האיבר $a_n$ גדול ביותר מ-$30$ מהאיבר $b_n$.

הסבירו מדוע הסדרה חשבונית, והראו כי נוסחת האיבר הכללי שלה היא $a_n=kn+2$.

נתון כי $a_k=27$ (האיבר שמקומו בסדרה הוא $k$ שווה ל-$27$). מצאו את $k$, ורשמו את נוסחת האיבר הכללי.

עבור ערך $k$ שמצאתם, מגדירים סדרה נוספת $b_n$ על ידי כלל הנסיגה $b_1=100$, $b_{n+1}=b_n-3$, ואת הסדרה $c_n=b_n-a_n$. רשמו את הסדרה $c_n$ בנוסחה לפי מקום ובכלל נסיגה, והראו שאין מקום $n$ שבו $a_n=b_n$.

מצאו את נוסחת האיבר הכללי $a_n$ של הסדרה.

מצאו את כל הערכים של $n$ שבעבורם סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה הוא 300. הסבירו את התוצאה.

מהו הסכום הגדול ביותר של איברים ראשונים בסדרה, $S_n$, ועבור איזה $n$ הוא מתקבל?

לוקחים את $N$ האיברים הראשונים של הסדרה הנתונה (סדרה סופית שמתחילה ב-$a_1=39$). סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה הסופית הזו הוא $-375$. מצאו את $N$.