מבחן לדוגמה: אינטגרל מסוים שתוצאתו לוגריתם - כיתה י"ב 4 יח"ל

מצאו את $k$.

מצאו את האסימפטוטה האנכית של כל אחת מהפונקציות, והתאימו בין הגרפים I ו-II ובין הפונקציות.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים.

הראו כי $F(x)=-4\ln(4-x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$ בתחום $x<4$, ומצאו פונקציה קדומה של $g(x)$ בתחום $x>-4$.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים והישרים $x=0$ ו-$x=2$.

נתון כי $g(x)=f(-x)$, כלומר הגרפים סימטריים זה לזה ביחס לציר ה-$y$. בלי לחשב אינטגרל, מצאו את השטח הכלוא בין הגרפים והישרים $x=-2$ ו-$x=2$ (השטח המקווקו בציור).

הראו כי לכל מספר טבעי $n$ מתקיים $\int_0^1\frac{1}{x+n}\,dx=\ln(n+1)-\ln n$.

חשבו את $I$.

הראו כי לכל מספר טבעי $n$ מתקיים $\int_0^1\frac{1}{x+n}\,dx=\ln(n+1)-\ln n$.

חשבו את $I$.

מצאו את מספר המחוברים $n$ שיש לכתוב בסוגריים כדי שערך האינטגרל $\int_0^1\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\dots+\frac{1}{x+n}\right)dx$ יהיה $2\ln10$.

מצאו את המספר $t$, $-2<t<4$, שעבורו $\int_{-2}^{t}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx=0$.

הביעו כל אחד משני האינטגרלים באמצעות $k$.

מצאו את $k$.

הראו כי עבור הערך של $k$ שמצאתם בסעיף ב, הערך המשותף של שני האינטגרלים שווה ל-$6\ln k$.