מבחן לדוגמה: בעיות קיצון עם פונקציות מעריכיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתונה הפונקציה $f(x)=e^{-x}$ בתחום $x\ge0$. $P$ היא נקודה על גרף הפונקציה. מורידים מ-$P$ אנכים לציר ה-$x$ ולציר ה-$y$, ומתקבל מלבן שאחד מקודקודיו בראשית הצירים ו-$P$ הוא הקודקוד הנגדי לו (ראו שרטוט).

נתונה הפונקציה $f(x)=e^{-x}$ בתחום $x\ge0$. $P$ היא נקודה על גרף הפונקציה. מורידים מ-$P$ אנכים לציר ה-$x$ ולציר ה-$y$, ומתקבל מלבן שאחד מקודקודיו בראשית הצירים ו-$P$ הוא הקודקוד הנגדי לו (ראו שרטוט).

הרווח החודשי של חברה (באלפי ש"ח) מתואר על ידי הפונקציה $P(t)=100t\cdot e^{-\frac{t}{5}}$, כאשר $t$ הוא מספר החודשים שחלפו מפתיחת החברה ($t\ge0$).

ריכוז של תרופה בדם (במ"ג לליטר) מתואר על ידי הפונקציה $C(t)=A\cdot t\cdot e^{-kt}$ עבור $t\ge0$, כאשר $t$ הוא הזמן בשעות מרגע הנטילה, ו-$A$ ו-$k$ קבועים חיוביים. ידוע שהריכוז הגדול ביותר, $8$ מ"ג לליטר, מתקבל כעבור $4$ שעות.

נתונים גרף הפונקציה $f(x)=e^{x}$ והישר $\ell:\ y=2x-4$.

בשרטוט מתואר התחום המוגבל על ידי הגרפים של $y=e^{x}$ ו-$y=e^{-x}$ ועל ידי הישר $y=2e$. חוסמים בתחום מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים: הצלע העליונה שלו מונחת על הישר $y=2e$, והקודקודים התחתונים שלו נמצאים על שני הגרפים, בנקודות שבהן $x=t$ ו-$x=-t$ ($t>0$).