מבחן לדוגמה: אסימפטוטות, קודקודים וסימטריה - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתונה משפחת ההיפרבולות $\dfrac{x^2}{a}-\dfrac{y^2}{12-a}=1$, כאשר $0<a<12$.

בסרטוט שלפניכם האליפסה $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ ושני ישרים העוברים דרך ראשית הצירים: $y=\dfrac34x$ ו-$y=-\dfrac34x$.

היפרבולה קנונית $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ (שאינה מצוירת) מקיימת: שני הישרים הם האסימפטוטות שלה, והמרחק בין שני קודקודיה שווה למרחק בין שני המוקדים של האליפסה.

נתונה היפרבולה קנונית $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ($a,b>0$). ידוע כי המרחק ממוקד ההיפרבולה לכל אחת מהאסימפטוטות שלה שווה למרחק בין שני קודקודי ההיפרבולה.

נתונה ההיפרבולה $9y^2-4x^2=36$.

האסימפטוטות של היפרבולה קנונית $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ הן הישרים $y=2x$ ו-$y=-2x$. ידוע כי לכל נקודה על ההיפרבולה, מכפלת המרחקים שלה משתי האסימפטוטות שווה ל-$\dfrac{16}{5}$.

הישרים $y=\dfrac43x$ ו-$y=-\dfrac43x$ הם האסימפטוטות של שתי היפרבולות, $H_1$ ו-$H_2$. לכל אחת מהן מרכז בראשית הצירים, והמוקדים שלה על אחד הצירים. ההיפרבולה $H_1$ עוברת דרך הנקודה $P(3,8)$, וההיפרבולה $H_2$ עוברת דרך הנקודה $Q(6,4)$.