מבחן לדוגמה: בעיות קיצון עם פונקציות לוגריתמיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתונות הפונקציות $f(x)=3x+10$ ו-$g(x)=3\ln x$ בתחום $x>0$ (ראו איור).

הנקודה $P(x,\ln x)$ נמצאת על גרף הפונקציה $y=\ln x$, כאשר $1\le x\le e^2$. $B(x,0)$ היא ההיטל של $P$ על ציר ה-$x$, ו-$O$ ראשית הצירים (ראו איור).

נתונות הפונקציות $f(x)=x^2$ ו-$g(x)=4\ln x$. לכל $x$ בתחום $\frac1e\le x\le e$ מסמנים ב-$d(x)$ את המרחק האנכי (בכיוון ציר ה-$y$) בין הנקודה $(x,f(x))$ לנקודה $(x,g(x))$.

מעבירים משיק לגרף הפונקציה $f(x)=\ln x$ בנקודה שבה $x=t$, כאשר $0<t<e$. המשיק חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $B$ ואת ציר ה-$x$ בנקודה $C$. $O$ היא ראשית הצירים (ראו איור).

נתונה הנקודה $P\left(0,\,e^2+1\right)$ וגרף הפונקציה $y=\ln x$. הנקודה $A(x,\ln x)$ היא נקודה כלשהי על הגרף.

נתונות הפונקציות $f(x)=\ln(2x)$, המוגדרת בתחום $x>0$, ו-$g(x)=\frac{e^x}{2}$. הגרפים של שתי הפונקציות סימטריים זה לזה ביחס לישר $y=x$.

הנקודה $A(t,\ln(2t))$, כאשר $t>0$, נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$.