מבחן לדוגמה: יחידות ההצגה במרחב: שלושה וקטורים בלתי תלויים - כיתה י"ב 5 יח"ל

בפירמידה המשולשת $SABC$ שבסרטוט הנקודה $G$ היא מפגש התיכונים של הבסיס $ABC$. הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $SA$, הנקודה $L$ נמצאת על המקצוע $SB$ כך ש-$SL:LB=2:1$, והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש-$SQ:QC=1:3$. המישור $KLQ$ חותך את הקטע $SG$ בנקודה $P$. נסמן: $\overrightarrow{SA}=\underline{a}$, $\overrightarrow{SB}=\underline{b}$, $\overrightarrow{SC}=\underline{c}$.

בטטראדר $ABCD$ שבסרטוט נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$, $\overrightarrow{AD}=\underline{w}$. הנקודה $G$ מוגדרת על ידי $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}\left(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}\right)$. הנקודות $P$, $Q$, $R$ נמצאות על המקצועות $AB$, $AC$, $AD$ בהתאמה, כך ש-$AP:PB=3:1$, $AQ:QC=2:1$ ו-$\overrightarrow{AR}=r\cdot\overrightarrow{AD}$, $0<r<1$. נתון כי המישור $PQR$ עובר דרך הנקודה $G$.

במנסרה המשולשת $ABCA'B'C'$ שבסרטוט (המקצועות הצדדיים הם $AA'$, $BB'$, $CC'$) נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$, $\overrightarrow{AA'}=\underline{w}$. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $AB$ כך ש-$AM:MB=1:2$. הקטע $C'M$ חותך את המישור $A'BC$ בנקודה $X$.

במנסרה המשולשת $ABCA'B'C'$ שבסרטוט (המקצועות הצדדיים הם $AA'$, $BB'$, $CC'$) נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$, $\overrightarrow{AA'}=\underline{w}$. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $AB$ כך ש-$AM:MB=1:2$. הקטע $C'M$ חותך את המישור $A'BC$ בנקודה $X$.

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: $\overrightarrow{OA}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{OB}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{OC}=\underline{w}$. נתון: $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ$, $|\underline{u}|=|\underline{v}|$, $|\underline{w}|=m|\underline{u}|$, $m>0$ הוא פרמטר. הנקודה H מקיימת: $\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}$, ו-$\overrightarrow{OH}$ מאונך לבסיס ABC.

נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית, ו-SA הוא גובה הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$, $\overrightarrow{AS}=\underline{w}$. דרך האלכסון AC מעבירים מישור המקביל למקצוע SD. המישור חותך את המקצוע SB בנקודה K.