מבחן לדוגמה: משפט פיתגורס ושימושיו - כיתה ז'

חשבו את המרחק בקו ישר מהמחסן לבית $A$, ביחידות של המפה ובמטרים.

חשבו את המרחק בקו ישר מהמחסן לבית $B$, במטרים.

משאית נוסעת מהמחסן לבית $A$ ברחובות שמקבילים לצירים: קודם ימינה ואחר כך למעלה (לאורך משולש העזר). כמה מטרים היא נוסעת? בכמה מטרים המסלול של הרחפן קצר יותר?

הסוללה של הרחפן מספיקה ל-$2.5$ ק"מ של טיסה. הרחפן צריך לטוס מהמחסן אל הבית ולחזור למחסן בלי להטעין. לאיזה מהבתים הוא יכול להגיע? נמקו.

חשבו את אורך היתר $KM$ בדגם. מהם אורכי הניצבים של המפרש האמיתי? חשבו את היתר של המפרש האמיתי בעזרת משפט פיתגורס, ובדקו שהוא ארוך פי $3$ מ-$KM$.

חשבו את ההיקף ואת השטח של הדגם ושל המפרש האמיתי. פי כמה גדל ההיקף, ופי כמה גדל השטח? הסבירו למה השטח לא גדל פי $3$.

מכינים עוד דגם, שבו מכפילים רק את הניצב $KL$ (ל-$24$ ס"מ), והניצב $LM$ נשאר $16$ ס"מ. האם היתר גדל פי $2$? בין אילו שני מספרים שלמים נמצא אורכו?

רשמו את שיעורי הקודקודים $A$, $D$, $C$. נמקו.

נתון ששטח המשולש $DEC$ שווה ל-$6$ יח"ר ושטח המשולש $ADE$ שווה ל-$9$ יח"ר.

מצאו את שיעורי הנקודה $E$.

סרטטו את הגובה שיורד מהנקודה $E$ לצלע $AD$ במשולש $AED$.

מצאו את אורך הקטע $AE$.

דן אומר: "הניצב הקצר במשולש $DEF$ ארוך מהניצב הקצר במשולש $ABC$, כי $6>5$. לכן גם היתר של $DEF$ ארוך יותר." חשבו את שני היתרים, וקבעו אם דן צודק.

נועה אומרת: "אם במשולש ישר זווית אחד שני הניצבים ארוכים משני הניצבים של משולש ישר זווית אחר (כל ניצב מהניצב המתאים לו), אז גם היתר שלו ארוך יותר." האם הטענה של נועה נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם? הסבירו בעזרת ריבועי האורכים. הסבירו גם למה בכל משולש ישר זווית היתר ארוך מכל אחד משני הניצבים.

שירה בחרה גובה $AH=24$ ס"מ. מצאו את אורך הבסיס $BC$ ואת אורך השוק $AB$. האם כל המידות שלמות?

יוני הציע משולש אחר: להחליף בין התפקידים של חצי הבסיס ושל הגובה מהמשולש של שירה, כלומר גובה $7$ ס"מ וחצי בסיס $24$ ס"מ. מה השוק ומה השטח של המשולש של יוני? האם גם הוא מתאים לתכנון? השוו בין ההיקפים של שני המשולשים.

במשולש של שירה מורידים גם גובה מהקודקוד $B$ אל השוק $AC$. חשבו את אורכו בעזרת השטח. האם גם הגובה הזה הוא מספר שלם?

האם ייתכן ששטח המקבילית הוא $30$ סמ"ר? נמקו.

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של מקבילית כזאת? באיזו מקבילית הוא מתקבל?

הטלפון של נועה נמצא במרחק $5$ ק"מ מאנטנה $A$ ובמרחק $5$ ק"מ מאנטנה $B$. הראו שהנקודה $P(0,4)$ מתאימה: חשבו את $PA$ ואת $PB$ בעזרת משולשי עזר.

מצאו נקודה נוספת $Q$, שונה מ-$P$, שגם היא נמצאת במרחק $5$ ק"מ מ-$A$ ובמרחק $5$ ק"מ מ-$B$. הסבירו.

גם האנטנה $C$ מודדת שהטלפון של נועה נמצא במרחק $5$ ק"מ ממנה. איפה הטלפון, ב-$P$ או ב-$Q$? נמקו בחישוב.

הטלפון של אורי נמצא במרחק $6$ ק"מ מ-$A$ ובמרחק $6$ ק"מ מ-$B$, מעל ציר ה-$x$. מצאו את שיעורי הנקודה שבה הוא נמצא, בדיוק של 2 ספרות אחרי הנקודה.

האם יכול להיות טלפון שנמצא במרחק $2$ ק"מ מ-$A$ וגם במרחק $2$ ק"מ מ-$B$? הסבירו.

טענה: "אם שני ההפרשים הם מספרים שלמים, גם המרחק בין הנקודות הוא מספר שלם." הפריכו את הטענה בדוגמה, והראו את החישוב.

טענה: "אם המרחק בין שתי נקודות הוא מספר שלם, גם שני ההפרשים הם מספרים שלמים." הפריכו את הטענה בדוגמה. (רמז: נסו הפרשים שהם מספרים עשרוניים.)