מבחן לדוגמה: משוואות מיוחדות: אין פתרון וכל מספר הוא פתרון - כיתה ז'

נסמן ב-$x$ את מספר השנים מהיום. כתבו ביטוי לגיל של כל אחד מהם בעוד $x$ שנים, וכתבו משוואה לשאלה: "בעוד כמה שנים יהיו נועה ואיתי בני אותו גיל?" פתרו, והסבירו מה התוצאה אומרת על הסיפור.

כתבו משוואה לטענה: "בעוד $x$ שנים, הגיל של איתי יהיה שווה לגיל של נועה פחות $3$." כמה פתרונות יש למשוואה, ומה זה אומר על הסיפור?

כתבו לכל מסלול ביטוי למחיר החודשי בש"ח.

כתבו משוואה שמתארת מצב שבו המחיר במסלול א שווה למחיר במסלול ב, ופתרו אותה. מה המחיר בכל אחד מהם במצב הזה?

כתבו משוואה שמתארת מצב שבו המחיר במסלול א שווה למחיר במסלול ג. חסרו $5x$ משני האגפים. איזה שוויון התקבל? מה זה אומר על שני המסלולים?

כתבו משוואה שמתארת מצב שבו המחיר במסלול א שווה למחיר במסלול ד, ופתרו אותה. מה מתקבל? מה זה אומר על שני המסלולים?

פתחו סוגריים, חסרו $2x$ משני האגפים וקבעו: יש למשוואה פתרון אחד בדיוק, אין לה פתרון, או שכל מספר הוא פתרון שלה?

לירון כפלה את שני האגפים של המשוואה ב-$0$, קיבלה $0=0$ וכתבה: "כל מספר הוא פתרון." הציבו $x=1$ במשוואה הנתונה. מה מתברר? איזה צעד של לירון שגוי, ולמה?

עופר כפל את שני האגפים של המשוואה הנתונה ב-$3$. כתבו את המשוואה שקיבל, פשטו אותה וקבעו כמה פתרונות יש לה. הסבירו למה הכפל של עופר מותר, ואילו הכפל של לירון לא.

בצעו את הקסם עם המספרים $2$, $10$ ו-$-4$. כתבו את החישוב בכל פעם.

נסמן ב-$x$ את המספר שחושבים עליו. כתבו ביטוי לתוצאה של הקסם ופשטו אותו. כתבו את המשוואה "התוצאה היא $21$" והסבירו בעזרתה למה הקסם עובד עם כל מספר.

עדי אמרה שעשתה את הקסם בדיוק לפי ההוראות ויצא לה $24$. כתבו משוואה שמתאימה לדבריה ופתרו אותה. מה אפשר להסיק?

עומר שינה את השלב האחרון: "חסרו פי $2$ מהמספר שחשבתם עליו." אצלו יצא $30$. על איזה מספר עומר חשב? כתבו משוואה, פתרו ובדקו.

נחזור לקסם המקורי של נועם. במקום המספר $7$ בשלב השני רוצים לכתוב מספר אחר, כך שהתוצאה תהיה תמיד $15$, לכל מספר שחושבים עליו. איזה מספר צריך לכתוב? נמקו.

(1) "אם מוסיפים לשני האגפים של משוואה את אותו מספר שלילי, הפתרון שלה קטן."

(2) "אם כופלים את שני האגפים של משוואה ב-$-1$, מתקבלת משוואה שקולה לה."

(3) "מותר להחליף את המשוואה $7x=3x$ במשוואה $7=3$, כי חילקנו את שני האגפים באותו דבר."

(4) "אם מחסרים את אותו ביטוי עם $x$ משני האגפים ומתקבל שוויון לא נכון, כמו $2=6$, אז למשוואה המקורית אין פתרון."

עבור $k=5$: פשטו את אגף שמאל וקבעו אם למשוואה יש פתרון אחד בדיוק, אין לה פתרון, או שכל מספר הוא פתרון.

איזה מספר צריך לבחור במקום $k$ כדי שכל מספר יהיה פתרון של המשוואה? ומה סוג הפתרון אם בוחרים במקום $k$ מספר אחר?

האם יש ערך של $k$ שעבורו למשוואה יש פתרון אחד בדיוק? הסבירו. אחר כך החליפו את המקדם $4$ שלפני הסוגריים במספר $5$, ופתרו את המשוואה החדשה עבור $k=5$.