שאלות פתוחות: משוואות מיוחדות: אין פתרון וכל מספר הוא פתרון - כיתה ז'

אוסף שאלות פתוחות על משוואות מיוחדות לכיתה ז': משוואה שאין לה פתרון ומשוואה שכל מספר הוא פתרון שלה. התלמידים מסווגים משוואות לפי מספר הפתרונות, מוצאים טעויות במסקנות של תלמידות, משלימים מספר במשבצת כך שהמשוואה תהיה בלי פתרון או עם אינסוף פתרונות, ובוחנים משוואה עם פרמטר. יש שאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. השאלות מתאימות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

48 שאלותרמה א': 21רמה ב': 6מצוינות: 21

שאלה 1 · פתרון אחד, אף פתרון או כל מספרשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם שלוש משוואות:
(1) 4(x−2)+x=5x−84(x-2)+x=5x-84(x−2)+x=5x−8
(2) 3x+7=3(x+2)3x+7=3(x+2)3x+7=3(x+2)
(3) 2(x+5)=4x+22(x+5)=4x+22(x+5)=4x+2

פשטו את שני האגפים של כל משוואה, ואחר כך כתבו מה מתאים לה: האם רק מספר אחד פותר אותה, האם אף מספר אינו פותר אותה, או האם כל מספר פותר אותה? למשוואה שרק מספר אחד פותר אותה, מצאו את המספר ובדקו במשוואה המקורית.

שאלה 2 · איזו משוואה אין לה פתרון?שאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם ארבע משוואות:
(1) 2y=y+62y=y+62y=y+6
(2) y+6=yy+6=yy+6=y
(3) y+6=6y+6=6y+6=6
(4) 6y=y6y=y6y=y

א.

לאחת המשוואות אין פתרון. איזו? הסבירו במשפט למה אף מספר אינו פותר אותה.

ב.

רון אומר: "גם למשוואה (4) אין פתרון, כי פי 666 ממספר לא יכול להיות שווה למספר עצמו." הציבו y=0y=0y=0 במשוואה (4). האם רון צודק?

שאלה 3 · כמה הצבות מספיקות?שאלה קצרה · מצוינות

שירה הציבה במשוואה x2+2=3xx^2+2=3xx2+2=3x את המספר 111 ואת המספר 222, ובשתי ההצבות השוויון התקיים. היא כתבה: "לכן כל מספר הוא פתרון של המשוואה."

א.

האם שירה צודקת? הראו זאת בעזרת הצבה.

ב.

נתונה המשוואה 5(x+1)−3x=2(x+2)+15(x+1)-3x=2(x+2)+15(x+1)−3x=2(x+2)+1. הראו שכל מספר הוא פתרון שלה בדרך שמתאימה לכל המספרים, ולא בהצבות. הסבירו למה הדרך שלכם מוכיחה "כל מספר" והדרך של שירה לא.

שאלה 4 · ה-x נעלם: האם אין פתרון?שאלה קצרה · רמה א'

מאיה פתרה את המשוואה 6x−(2x−5)=4x+56x-(2x-5)=4x+56x−(2x−5)=4x+5 וכתבה:
6x−2x+5=4x+56x-2x+5=4x+56x−2x+5=4x+5
4x+5=4x+54x+5=4x+54x+5=4x+5
5=55=55=5
"ה-xxx נעלם מהמשוואה, ולכן אין לה פתרון."

האם המסקנה של מאיה נכונה? הסבירו מה נכון לומר על הפתרונות של המשוואה, ובדקו את דבריכם בהצבה של שני מספרים לבחירתכם במשוואה המקורית.

שאלה 5 · השלמת מספר: כל מספר או אף מספרשאלה קצרה · רמה ב'

נתונה המשוואה 2(x+4)=2x+□2(x+4)=2x+\square2(x+4)=2x+□, ובמקום המשבצת צריך לכתוב מספר.

א.

איזה מספר צריך לכתוב במשבצת כדי שכל מספר יהיה פתרון של המשוואה? הסבירו.

ב.

אילו מספרים אפשר לכתוב במשבצת כך שלמשוואה לא יהיה אף פתרון? הסבירו.

שאלה 6 · מספר קבוע אחד שקובע הכולשאלת ביניים · מצוינות

נתונה המשוואה 4(x+2)−(x−3)=3x+k4(x+2)-(x-3)=3x+k4(x+2)−(x−3)=3x+k, האות kkk מייצגת מספר שבוחרים מראש, והיא אינה הנעלם. הנעלם הוא xxx.

א.

עבור k=5k=5k=5: פשטו את אגף שמאל וקבעו אם למשוואה יש פתרון אחד בדיוק, אין לה פתרון, או שכל מספר הוא פתרון.

ב.

איזה מספר צריך לבחור במקום kkk כדי שכל מספר יהיה פתרון של המשוואה? ומה סוג הפתרון אם בוחרים במקום kkk מספר אחר?

ג.

האם יש ערך של kkk שעבורו למשוואה יש פתרון אחד בדיוק? הסבירו. אחר כך החליפו את המקדם 444 שלפני הסוגריים במספר 555, ופתרו את המשוואה החדשה עבור k=5k=5k=5.

שאלה 7 · כפל באפס: מאין הגיעו כל הפתרונות?שאלת ביניים · רמה א'

נתונה המשוואה 2(x+3)=2x+102(x+3)=2x+102(x+3)=2x+10.

א.

פתחו סוגריים, חסרו 2x2x2x משני האגפים וקבעו: יש למשוואה פתרון אחד בדיוק, אין לה פתרון, או שכל מספר הוא פתרון שלה?

ב.

לירון כפלה את שני האגפים של המשוואה ב-000, קיבלה 0=00=00=0 וכתבה: "כל מספר הוא פתרון." הציבו x=1x=1x=1 במשוואה הנתונה. מה מתברר? איזה צעד של לירון שגוי, ולמה?

ג.

עופר כפל את שני האגפים של המשוואה הנתונה ב-333. כתבו את המשוואה שקיבל, פשטו אותה וקבעו כמה פתרונות יש לה. הסבירו למה הכפל של עופר מותר, ואילו הכפל של לירון לא.

שאלה 8 · מהטבלה אל הנימוק: משוואה בלי פתרוןשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה המשוואה 3(x−1)=3x+23(x-1)=3x+23(x−1)=3x+2.

א.

השלימו את הטבלה: חשבו את הערך של כל אגף עבור כל מספר.
xxx000111444
אגף שמאל 3(x−1)3(x-1)3(x−1)
אגף ימין 3x+23x+23x+2
מה ההפרש בין אגף ימין לאגף שמאל בכל עמודה?

ב.

פתחו את הסוגריים באגף שמאל, ואחר כך חסרו 3x3x3x משני האגפים. איזה שוויון התקבל? האם הוא נכון?

ג.

האם יש למשוואה פתרון? הסבירו למה התוצאה של סעיף ב מראה זאת לכל המספרים, ואילו הטבלה בסעיף א בדקה רק שלושה מספרים.

שאלה 9 · כרטיסי ביטויים: איזה זוג יוצר איזו משוואה?שאלה מלאה · מצוינות

על שישה כרטיסים כתובים ביטויים:
כרטיס AAA: 2(x+3)2(x+3)2(x+3)
כרטיס BBB: 2x+32x+32x+3
כרטיס CCC: x+6+xx+6+xx+6+x
כרטיס DDD: 3(x+1)−x3(x+1)-x3(x+1)−x
כרטיס EEE: 5x+6−3x5x+6-3x5x+6−3x
כרטיס FFF: 4x−(x−6)4x-(x-6)4x−(x−6)
בוחרים שני כרטיסים וכותבים משוואה: הביטוי של כרטיס אחד באגף שמאל, והביטוי של הכרטיס השני באגף ימין.

א.

פשטו את הביטוי שעל כל כרטיס.

ב.

אילו זוגות של כרטיסים יוצרים משוואה שכל מספר הוא פתרון שלה? כתבו את כל הזוגות.

ג.

כמה זוגות של כרטיסים יוצרים משוואה שאין לה פתרון? הסבירו בלי לפתור כל משוואה בנפרד.

ד.

פתרו את המשוואה של הכרטיסים FFF ו-AAA, ואת המשוואה של הכרטיסים FFF ו-BBB. בדקו את הפתרונות.

ה.

על כרטיס חדש GGG כתוב 2(x+□)2(x+\square)2(x+□), ובמשבצת יש מספר. איזה מספר צריך לכתוב במשבצת כדי שהפתרון של המשוואה של GGG עם FFF יהיה x=4x=4x=4? הראו שעם המספר הזה, למשוואה של GGG עם כל אחד מהכרטיסים AAA, BBB, CCC, DDD, EEE אין פתרון.

ו.

דן מחפש כרטיס שיוצר משוואה שכל מספר הוא פתרון שלה גם עם הכרטיס AAA וגם עם הכרטיס BBB. האם יש כרטיס כזה? נמקו.

שאלה 10 · היקפים שתמיד שוויםשאלת ביניים · רמה א'

צלע של ריבוע היא x+2x+2x+2 ס"מ. למלבן יש אורך x+4x+4x+4 ס"מ ורוחב xxx ס"מ. (xxx הוא מספר חיובי.)

א.

כתבו ביטוי להיקף הריבוע וביטוי להיקף המלבן, ופשטו כל ביטוי.

ב.

גל שאל: "לאיזה ערך של xxx ההיקפים שווים?" כתבו משוואה ופתרו אותה. מה התשובה לשאלה של גל?

ג.

את אורך המלבן הגדילו ל-x+5x+5x+5 ס"מ, והרוחב נשאר xxx ס"מ. האם יש עכשיו ערך של xxx שעבורו ההיקפים שווים? כתבו משוואה ונמקו. איזו צורה בעלת היקף גדול יותר?

עוד 16 שאלות על משוואות מיוחדות: אין פתרון וכל מספר הוא פתרון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מנויים לחדר כושר: מתי המחירים שווים? (שאלה מלאה · רמה ב')
בחדר הכושר השכונתי יש ארבעה מסלולי תשלום לחודש: מסלול א: דמי מנוי של $40$ ש"ח לחודש, ועוד $5$ ש"ח לכל כניסה. מסלול ב: $9$ ש"ח לכל כניסה, בלי…
שלוש הצבות שהצליחו, הצבה אחת שנכשלה (שאלת ביניים · מצוינות)
תמר בודקת משוואות בעזרת הצבות.
הקסם של המספר 21 (שאלה מלאה · רמה א')
נועם מציג לכיתה "קסם": "חשבו על מספר. הוסיפו לו $7$ . כפלו את התוצאה ב- $3$ . מהמספר שקיבלתם, חסרו פי $3$ מהמספר שחשבתם עליו. יצא לכם $21$ !"
האחים לעולם לא יהיו בני אותו גיל (שאלה קצרה · רמה ב')
היום נועה בת $12$ ואחיה איתי בן $9$ .
נרות דולקים: מתי הגובה שווה? (שאלה מלאה · מצוינות)
מדליקים באותו רגע שלושה נרות. כל נר נשרף באופן קבוע: נר א: אורכו $20$ ס"מ, ובכל שעה הוא מתקצר ב- $2$ ס"מ. נר ב: אורכו $16$ ס"מ, ובכל שעה הוא…
משבצת בתוך הסוגריים ומשבצת בסוף (שאלה קצרה · רמה א')
בכל משוואה צריך לכתוב מספר במשבצת.
טענות על פעולות בשני האגפים (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל טענה הכריעו אם היא נכונה תמיד. אם כן, הסבירו למה. אם לא, תנו דוגמה נגדית.
ניסו כמה מספרים ולא הצליחו (שאלה קצרה · רמה א')
עידו וליה ניסו כמה מספרים במשוואות, ואף אחד מהם לא היה פתרון. שניהם כתבו: "למשוואה אין פתרון."
לא בטבלה: אין פתרון, או פתרון בין העמודות? (שאלת ביניים · מצוינות)
הטבלה מראה את הערכים של $3x-4$ , $3x+2$ ו- $10-x$ עבור $x$ מ- $0$ עד $5$ . חלק מהתאים ריקים.
שתי חברות מוניות שלעולם לא משתוות (שאלה קצרה · רמה א')
בחברת מוניות "דרך" משלמים $10$ ש"ח על התחלת הנסיעה, ועוד $6$ ש"ח לכל ק"מ. בחברת מוניות "נתיב" אין תשלום על התחלת הנסיעה. על כל אחד משני…
כמה פתרונות? ארבע טענות (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל טענה הכריעו אם היא נכונה. טענה נכונה נמקו, ולטענה שגויה תנו דוגמה נגדית. תזכורת: שתי משוואות שקולות אם כל פתרון של אחת מהן הוא פתרון של…
אגף שמאל קבוע, משבצת באגף ימין (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי $4(x+2)-x$ .
מספר קבוע במקדם: מתי אין פתרון? (שאלה קצרה · מצוינות)
במשוואה $6x+kx=18$ האות $k$ מייצגת מספר שבוחרים מראש, והיא אינה הנעלם. הנעלם הוא $x$ .
שני מכלים: מתי אותה כמות מים? (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף שני מכלים מתמלאים מים מאותו רגע. נסמן ב- $t$ את מספר הדקות מתחילת המילוי.
מספר לפני הסוגריים שבוחרים מראש (שאלה קצרה · מצוינות)
במשוואה $m(x-2)=12$ האות $m$ מייצגת מספר שבוחרים מראש, והיא אינה הנעלם. הנעלם הוא $x$ .
משוואות עם אפס (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם חמש משוואות: (1) $-2.5x=0$ (2) $\frac{x}{-4}=0$ (3) $0\cdot x=-7$ (4) $0\cdot x=0$ (5) $x-3.2=-3.2$

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (22)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

טריק "חשבו על מספר" (שאלה מלאה · מצוינות)
נועם מציג לחברים טריק: "חשבו על מספר. הוסיפו לו $7$ . כפלו את התוצאה ב- $3$ . החסירו פעמיים את המספר שחשבתם עליו.…
מתי אין פתרון? (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=\square\cdot x+2$ בריבוע צריך לכתוב מספר.
אין פתרון או כל מספר? (שאלה קצרה · רמה ב')
פתרו כל משוואה. אם למשוואה אין פתרון, כתבו "אין פתרון". אם כל מספר הוא פתרון, כתבו "כל מספר הוא פתרון".
מספר שלא קיים ומשוואה שכל מספר פותר (שאלה קצרה · רמה א')
האם יש מספר שאם מוסיפים לו $6$ מקבלים את אותו המספר? כתבו משוואה מתאימה והסבירו.
מיון משוואות לשלושה סוגים (שאלה קצרה · רמה א')
נתונות שלוש משוואות: (1) $5(x-2)+3=5x-7$ (2) $2(3x+1)=6x-2$ (3) $4(x+1)=2(x+5)$
השלימו את המספר החסר (שאלה קצרה · רמה א')
בכל משוואה חסר מספר אחד, ובמקומו כתוב $\square$ .
תמיד, לפעמים או אף פעם? (שאלה קצרה · מצוינות)
הכריעו אם כל טענה נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. טענה שנכונה תמיד - נמקו באופן כללי. טענה שנכונה לפעמים - תנו…
השכרת אופניים: מחירונים שלא משתווים (שאלת ביניים · רמה א')
שתי חנויות משכירות אופניים. בחנות "גלגל" משלמים דמי רישום של $15$ ש"ח ועוד $12$ ש"ח לכל שעה. בחנות "דווש"…
ביטויים על הלוח: מתי הם שווים? (שאלת ביניים · רמה א')
ארבעה תלמידים כתבו על הלוח ביטוי אחד כל אחד: המורה בוחרת שני ביטויים, שמה ביניהם סימן שוויון ומקבלת משוואה.…
שני מספרים חסרים: מתי פתרון אחד, אף פתרון או כל מספר? (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה המשוואה $4(x-3)+2x=\square\cdot x+\triangle$ , ובה במקום $\square$ ובמקום $\triangle$ כותבים מספרים.
טעות אחת שמשנה את סוג המשוואה (שאלה מלאה · רמה א')
נתונות שתי משוואות: (1) $5(x-1)-2x=3(x+2)$ (2) $4(2x+3)-2(x-1)=6x+14$
מתי גיל הסבתא ישווה לסכום גילי הנכדים? (שאלת ביניים · מצוינות)
בשאלה הזאת משווים גיל של מבוגר לסכום הגילים של ילדים או נכדים. כל הגילים בשאלה הם מספרים שלמים, וכל בני המשפחה…
מה שכתוב בריבוע קובע כמה פתרונות יש (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף כותבים בריבוע $\square$ מספר או ביטוי.
פותחים סוגריים וה- $x$ נעלם (שאלה קצרה · רמה א')
שתי המשוואות שלפניכם נראות כמו משוואות רגילות, אבל אחרי פתיחת הסוגריים ה- $x$ נעלם. לכל משוואה החליטו: האם אין…
ביטוי בריבוע: כל מספר או אף מספר (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $7-3(x-2)=\square+4$ . בריבוע $\square$ כותבים ביטוי אלגברי.
מספר או ביטוי בריבוע (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה המשוואה $2(x-3)-(\square+1)=x-4$ . בריבוע $\square$ אפשר לכתוב מספר או ביטוי אלגברי.
משוואה שאין לה אף פעם פתרון אחד (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $4(x-1)-2(x+\square)=2x+6$ . בריבוע $\square$ כותבים מספר.
שני חישובים שלא נפגשים (שאלה קצרה · רמה א')
יואב ומיכל בוחרים אותו מספר. יואב כופל את המספר ב- $4$ , ומהתוצאה מחסר $6$ . מיכל מחסרת $1$ מהמספר, כופלת את…
מספר כפול סוגריים באגף ימין (שאלה קצרה · מצוינות)
אגף שמאל של משוואה הוא $2(3x+1)-x$ . אגף ימין צריך להיות מספר שכופל סוגריים, ובתוך הסוגריים $x$ ועוד מספר, כמו…
היקפים שאף פעם לא שווים (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונות שלוש צורות. אורכי הצלעות בס"מ, ו- $x$ הוא מספר חיובי. מלבן שאורכי צלעותיו $x$ ו- $x+6$ . ריבוע שאורך צלעו…
פתרון אחד, כל מספר, או אף מספר? (שאלה קצרה · רמה א')
רוני חיפש משוואה שהפתרון שלה הוא $x=3$ . הוא כתב את המשוואה $2(x-5)=2x-10$ .
הצבה אחת לא מוכיחה ששני ביטויים שווים תמיד (שאלה קצרה · רמה א')
עומר רצה לבדוק אם הביטויים $5x-2(x-4)$ ו- $5x+8$ שווים לכל ערך של $x$ . הוא הציב $x=0$ בשניהם, קיבל $8$ בשניהם,…