מבחן לדוגמה: משוואות מיוחדות: אין פתרון או שכל מספר הוא פתרון - כיתה ח'

6 שאלות פתוחות על משוואות מיוחדות: אין פתרון או שכל מספר הוא פתרון (משוואות, מערכות משוואות ואי-שוויונות), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה ח'

משוואות מיוחדות: אין פתרון או שכל מספר הוא פתרון

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · שני ישרים שלא נפגשיםשאלת ביניים · רמה ב'

נתונות שתי פונקציות: f(x)=3x+2f(x)=3x+2f(x)=3x+2 ו-g(x)=3x−4g(x)=3x-4g(x)=3x−4. במערכת הצירים מסורטטים הגרפים שלהן.
fg
-3-2-11234-10-8-6-4-224681012

א.

העתיקו את הטבלה והשלימו אותה. מה ההפרש f(x)−g(x)f(x)-g(x)f(x)−g(x) בכל עמודה?
xxx000111222333
f(x)f(x)f(x)
g(x)g(x)g(x)

ב.

כתבו את המשוואה f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) ופתרו אותה. מה אתם מסיקים?

ג.

הסבירו בעזרת הגרפים ובעזרת השיפועים מדוע התשובה של סעיף ב מתאימה לגרפים.

שאלה 2 · שני מכלי מיםשאלה מלאה · רמה ב'

שני מכלים מתמלאים במים בעזרת שתי משאבות. כשמתחילים למדוד, במכל א' יש 404040 ליטר ובמכל ב' יש 151515 ליטר. כל משאבה מוסיפה 555 ליטר בכל דקה. המכלים גדולים, ואף אחד מהם לא מתמלא עד הסוף בזמן המדידה. סמנו ב-ttt את מספר הדקות מתחילת המדידה.
מכל א'מכל ב'
‫זמן (דקות)‬‫כמות מים (ליטר)‬0123456780102030405060708090

א.

העתיקו את הטבלה והשלימו אותה.
זמן (דקות)000222444666
מכל א' (ליטר)
מכל ב' (ליטר)

ב.

כתבו ביטוי לכמות המים בכל מכל אחרי ttt דקות.

ג.

האם יגיע רגע שבו תהיה בשני המכלים אותה כמות מים? כתבו משוואה, פתרו אותה והסבירו את התשובה גם בעזרת הגרפים.

ד.

מחליפים את המשאבה של מכל ב' במשאבה שמוסיפה 101010 ליטר בכל דקה (מתחילים שוב מ-404040 ליטר במכל א' ו-151515 ליטר במכל ב'). אחרי כמה דקות תהיה בשני המכלים אותה כמות מים, ומה הכמות?

שאלה 3 · מספר או ביטוי בריבועשאלת ביניים · רמה א'

נתונה המשוואה 2(x−3)−(□+1)=x−42(x-3)-(\square+1)=x-42(x−3)−(□+1)=x−4. בריבוע □\square□ אפשר לכתוב מספר או ביטוי אלגברי.

א.

איזה מספר צריך לכתוב בריבוע כדי שהפתרון של המשוואה יהיה x=0x=0x=0?

ב.

איזה מספר צריך לכתוב בריבוע כדי שהפתרון יהיה x=10x=10x=10? בכמה גדל המספר שבריבוע לעומת סעיף א, ובכמה גדל הפתרון?

ג.

איזה ביטוי עם xxx צריך לכתוב בריבוע כדי שכל מספר יהיה פתרון של המשוואה? בדקו את התשובה בעזרת המספרים מסעיפים א ו-ב.

שאלה 4 · טעות אחת שמשנה את סוג המשוואהשאלה מלאה · רמה א'

נתונות שתי משוואות:
(1) 5(x−1)−2x=3(x+2)5(x-1)-2x=3(x+2)5(x−1)−2x=3(x+2)
(2) 4(2x+3)−2(x−1)=6x+144(2x+3)-2(x-1)=6x+144(2x+3)−2(x−1)=6x+14

א.

פתרו את משוואה (1).

ב.

פתרו את משוואה (2).

ג.

איתן פתר את משוואה (2) וקיבל "אין פתרון". בפתיחת הסוגריים הוא כתב −2x−2-2x-2−2x−2 במקום הביטוי −2(x−1)-2(x-1)−2(x−1). הראו לאיזה שוויון הגיע איתן. מה הייתה התשובה הנכונה, ומה התשובה שקיבל בגלל הטעות?

ד.

איזה מספר צריך להוסיף לאגף שמאל בלבד של משוואה (1) כדי שכל מספר יהיה פתרון של המשוואה החדשה?

שאלה 5 · אותו פתרון לכל מספר בריבועשאלה קצרה · מצוינות

נתונה המשוואה □⋅(x−3)=2x−6\square\cdot(x-3)=2x-6□⋅(x−3)=2x−6. בריבוע כותבים מספר.

א.

פתרו את המשוואה כשבריבוע כתוב 444, וכשבריבוע כתוב −1-1−1. מה אתם מגלים? הסבירו למה לכל מספר בריבוע חוץ ממספר אחד מתקבל אותו פתרון. מהו המספר יוצא הדופן, ומה קורה בו?

ב.

נועה רוצה לכתוב בריבוע מספר כך שלמשוואה לא יהיה אף פתרון. האם זה אפשרי? נמקו בלי לנסות מספרים.

שאלה 6 · משוואה שאין לה אף פעם פתרון אחדשאלה קצרה · מצוינות

נתונה המשוואה 4(x−1)−2(x+□)=2x+64(x-1)-2(x+\square)=2x+64(x−1)−2(x+□)=2x+6. בריבוע □\square□ כותבים מספר.

א.

הראו שלא משנה איזה מספר כותבים בריבוע, למשוואה אף פעם אין פתרון אחד בלבד. איזה מספר צריך לכתוב בריבוע כדי שכל מספר יהיה פתרון?

ב.

תמר כותבת בריבוע 000, ומחליפה את המקדם 222 של xxx באגף ימין במספר אחר (כל שאר המשוואה נשאר כמו שהוא). איזה מספר צריך לכתוב במקום המקדם 222 כדי שהפתרון יהיה x=−5x=-5x=−5?

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$
$g(x)$

זמן (דקות)	$0$	$2$	$4$	$6$
מכל א' (ליטר)
מכל ב' (ליטר)

שאלה 1 · שני ישרים שלא נפגשיםשאלת ביניים · רמה ב'

שאלה 2 · שני מכלי מיםשאלה מלאה · רמה ב'

שאלה 3 · מספר או ביטוי בריבועשאלת ביניים · רמה א'

שאלה 4 · טעות אחת שמשנה את סוג המשוואהשאלה מלאה · רמה א'

שאלה 5 · אותו פתרון לכל מספר בריבועשאלה קצרה · מצוינות

שאלה 6 · משוואה שאין לה אף פעם פתרון אחדשאלה קצרה · מצוינות

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד