שאלות פתוחות: משוואות מיוחדות: אין פתרון או שכל מספר הוא פתרון - כיתה ח'

בעמוד זה שאלות פתוחות על משוואות מיוחדות לכיתה ח': משוואה שאין לה פתרון ומשוואה שכל מספר הוא פתרון שלה. יש פתרון של משוואות וסיווגן, השלמת מספר חסר כך שלמשוואה יהיו אפס או אינסוף פתרונות, משוואה עם שברים ומשבצת, אי-שוויון שמתקיים לכל x, וטענות שצריך לנמק באופן כללי. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מכאן מרכיבים בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וקובץ Word להדפסה.

51 שאלותרמה א': 19רמה ב': 12מצוינות: 20

שאלה 1 · אי-שוויון שכל מספר פותרשאלת ביניים · רמה א'

נתון האי שוויון: 3x+2<3(x+1)+53x+2<3(x+1)+53x+2<3(x+1)+5

א.

כתבו שני מספרים שהם פתרונות של האי שוויון

ב.

פתרו את האי שוויון

ג.

כתבו אי שוויון אחר שהפתרון שלו הוא "אין פתרון".

שאלה 2 · אין פתרון או כל מספר?שאלה קצרה · רמה ב'

פתרו כל משוואה. אם למשוואה אין פתרון, כתבו "אין פתרון". אם כל מספר הוא פתרון, כתבו "כל מספר הוא פתרון".

א.

3(x+2)=3x+53(x+2)=3x+53(x+2)=3x+5

ב.

4(x−1)+x=5x−44(x-1)+x=5x-44(x−1)+x=5x−4

שאלה 3 · מתי אין פתרון?שאלה קצרה · מצוינות

נתונה המשוואה
x3+x6=□⋅x+2\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=\square\cdot x+23x​+6x​=□⋅x+2
בריבוע צריך לכתוב מספר.

א.

איזה מספר צריך לכתוב בריבוע כדי שלמשוואה לא יהיה פתרון? הסבירו.

ב.

האם יש מספר שאפשר לכתוב בריבוע כך שכל מספר יהיה פתרון של המשוואה? הסבירו.

שאלה 4 · מיון משוואות לשלושה סוגיםשאלה קצרה · רמה א'

נתונות שלוש משוואות:
(1) 5(x−2)+3=5x−75(x-2)+3=5x-75(x−2)+3=5x−7
(2) 2(3x+1)=6x−22(3x+1)=6x-22(3x+1)=6x−2
(3) 4(x+1)=2(x+5)4(x+1)=2(x+5)4(x+1)=2(x+5)

א.

מיינו את המשוואות: לאיזו משוואה יש פתרון אחד בלבד (מצאו אותו), לאיזו אין פתרון, ולאיזו כל מספר הוא פתרון? נמקו.

ב.

יעל פתרה את משוואה (1), קיבלה 0=00=00=0 וכתבה: "הפתרון הוא x=0x=0x=0". הסבירו מה הטעות שלה.

שאלה 5 · מספר שלא קיים ומשוואה שכל מספר פותרשאלה קצרה · רמה ב'

ענו על שני הסעיפים.

א.

האם יש מספר שאם מוסיפים לו 666 מקבלים את אותו המספר? כתבו משוואה מתאימה והסבירו.

ב.

הציבו x=0x=0x=0, x=5x=5x=5 ו-x=−3x=-3x=−3 במשוואה 2(x+1)−x=x+22(x+1)-x=x+22(x+1)−x=x+2, וחשבו כל אגף בנפרד. מה אתם מגלים? פשטו את אגף שמאל והסבירו מה קבוצת הפתרונות של המשוואה.

שאלה 6 · תמיד, לפעמים או אף פעם?שאלה קצרה · מצוינות

הכריעו אם כל טענה נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. טענה שנכונה תמיד - נמקו באופן כללי. טענה שנכונה לפעמים - תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה שבה אינה נכונה.

א.

"כשפותרים משוואה וה-xxx נעלם משני האגפים, למשוואה אין פתרון."

ב.

"לוקחים משוואה שכל מספר הוא פתרון שלה, ומוסיפים 555 לאגף ימין בלבד. למשוואה החדשה אין פתרון."

שאלה 7 · השלימו את המספר החסרשאלה קצרה · רמה א'

בכל משוואה חסר מספר אחד, ובמקומו כתוב □\square□.

א.

איזה מספר צריך להיות ב-□\square□ במשוואה 3(2x−4)=6x+□3(2x-4)=6x+\square3(2x−4)=6x+□ כדי שכל מספר יהיה פתרון שלה?

ב.

איזה מספר צריך להיות ב-□\square□ במשוואה −2(x−3)+□⋅x=4-2(x-3)+\square\cdot x=4−2(x−3)+□⋅x=4 כדי שלמשוואה לא יהיה פתרון?

שאלה 8 · שני ישרים שלא נפגשיםשאלת ביניים · רמה ב'

נתונות שתי פונקציות: f(x)=3x+2f(x)=3x+2f(x)=3x+2 ו-g(x)=3x−4g(x)=3x-4g(x)=3x−4. במערכת הצירים מסורטטים הגרפים שלהן.
fg
-3-2-11234-10-8-6-4-224681012

א.

העתיקו את הטבלה והשלימו אותה. מה ההפרש f(x)−g(x)f(x)-g(x)f(x)−g(x) בכל עמודה?
xxx000111222333
f(x)f(x)f(x)
g(x)g(x)g(x)

ב.

כתבו את המשוואה f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) ופתרו אותה. מה אתם מסיקים?

ג.

הסבירו בעזרת הגרפים ובעזרת השיפועים מדוע התשובה של סעיף ב מתאימה לגרפים.

שאלה 9 · שני מספרים חסרים: מתי פתרון אחד, אף פתרון או כל מספר?שאלת ביניים · מצוינות

נתונה המשוואה 4(x−3)+2x=□⋅x+△4(x-3)+2x=\square\cdot x+\triangle4(x−3)+2x=□⋅x+△, ובה במקום □\square□ ובמקום △\triangle△ כותבים מספרים.

א.

אילו מספרים צריך לכתוב ב-□\square□ וב-△\triangle△ כדי שכל מספר יהיה פתרון של המשוואה?

ב.

מה צריך לכתוב ב-□\square□, ואילו מספרים אפשר לכתוב ב-△\triangle△, כדי שלמשוואה לא יהיה פתרון?

ג.

הסבירו מדוע אם ב-□\square□ כותבים מספר שאינו 666, למשוואה יש פתרון אחד בדיוק, לא משנה מה כתוב ב-△\triangle△. מצאו את הפתרון כאשר □=4\square=4□=4 ו-△=2\triangle=2△=2.

שאלה 10 · השכרת אופניים: מחירונים שלא משתוויםשאלת ביניים · רמה א'

שתי חנויות משכירות אופניים.
בחנות "גלגל" משלמים דמי רישום של 151515 ש"ח ועוד 121212 ש"ח לכל שעה.
בחנות "דווש" משלמים דמי רישום של 252525 ש"ח ועוד 121212 ש"ח לכל שעה.

א.

סמנו ב-hhh את מספר השעות. כתבו ביטוי למחיר בכל חנות.

ב.

אורי טוען שאם ישכור לזמן ארוך מספיק, המחירים בשתי החנויות ישתוו. כתבו משוואה ופתרו אותה. האם אורי צודק?

ג.

חנות "דווש" מחלקת קופון: 101010 ש"ח הנחה על כל השכרה. כתבו את המשוואה החדשה לשוויון המחירים ופתרו אותה. מה המשמעות של התשובה?

עוד 22 שאלות על משוואות מיוחדות: אין פתרון או שכל מספר הוא פתרון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שני מכלי מים (שאלה מלאה · רמה ב')
שני מכלים מתמלאים במים בעזרת שתי משאבות. כשמתחילים למדוד, במכל א' יש $40$ ליטר ובמכל ב' יש $15$ ליטר. כל משאבה מוסיפה $5$ ליטר בכל דקה.…
ארבע פונקציות ושלושה ישרים (שאלה מלאה · מצוינות)
נתונות ארבע פונקציות ליניאריות: $f(x)=2(x-3)+5$ $g(x)=3(x-1)-(x-2)$ $h(x)=2(x+1)$ $k(x)=3(x-1)$ במערכת הצירים מסורטטים הגרפים של ארבע…
ביטויים על הלוח: מתי הם שווים? (שאלת ביניים · רמה א')
ארבעה תלמידים כתבו על הלוח ביטוי אחד כל אחד: המורה בוחרת שני ביטויים, שמה ביניהם סימן שוויון ומקבלת משוואה. מארבעת הביטויים אפשר לבנות $6$ …
שני כללים, ישר אחד (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונות הפונקציות $f(x)=3(x-2)-x+4$ ו- $g(x)=2x-2$ . מיכל אומרת: "יש כאן שני כללים שונים, ולכן יש שני גרפים נפרדים, אולי מקבילים." בסרטוט נראה…
ישרים שלא נפגשים: הוכחה אלגברית (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונות הפונקציות $f(x)=1.5x+4$ ו- $g(x)=1.5x-3$ .
טעות אחת שמשנה את סוג המשוואה (שאלה מלאה · רמה א')
נתונות שתי משוואות: (1) $5(x-1)-2x=3(x+2)$ (2) $4(2x+3)-2(x-1)=6x+14$
פותחים סוגריים וה- $x$ נעלם (שאלה קצרה · רמה ב')
שתי המשוואות שלפניכם נראות כמו משוואות רגילות, אבל אחרי פתיחת הסוגריים ה- $x$ נעלם. לכל משוואה החליטו: האם אין לה פתרון, או שכל מספר פותר…
כש- $x$ נעלם: כל מספר או אף מספר (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונים שלושה אי-שוויונות: (1) $4(x+2)>4x+5$ (2) $3x-1<3(x-2)$ (3) $2(x+3)\ge 2x+6$
פתרון אחד, כל מספר, או אף מספר? (שאלה קצרה · רמה א')
רוני חיפש משוואה שהפתרון שלה הוא $x=3$ . הוא כתב את המשוואה $2(x-5)=2x-10$ .
חלק שנוסעים בו במהירות הממוצעת (שאלת ביניים · מצוינות)
דנה נסעה בשלושה חלקים, בלי עצירות, ובכל חלק המהירות הייתה קבועה: - חלק ראשון: שעה אחת במהירות $50$ קמ"ש. - חלק שני: $x$ שעות במהירות $70$ …
מספר בריבוע: עמודה אחת בלי פתרון (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המשוואה $\square\cdot x-4=2x+8$ . בריבוע כותבים מספרים שונים, ובכל פעם פותרים את המשוואה שמתקבלת.
מספר כפול סוגריים באגף ימין (שאלה קצרה · מצוינות)
אגף שמאל של משוואה הוא $2(3x+1)-x$ . אגף ימין צריך להיות מספר שכופל סוגריים, ובתוך הסוגריים $x$ ועוד מספר, כמו $3(x-7)$ .
שלושה מועדוני ספורט: מחיר שתמיד שווה (שאלת ביניים · רמה א')
במועדון הספורט "ספורטיב" משלמים פעם אחת דמי הרשמה, ועוד $120$ ש"ח לכל חודש. נועה התאמנה במועדון $4$ חודשים ושילמה בסך הכול $610$ ש"ח.
היקפים שאף פעם לא שווים (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונות שלוש צורות. אורכי הצלעות בס"מ, ו- $x$ הוא מספר חיובי. מלבן שאורכי צלעותיו $x$ ו- $x+6$ . ריבוע שאורך צלעו $x+3$ . משולש שאורכי צלעותיו…
ביטוי בריבוע: כל מספר או אף מספר (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה המשוואה $7-3(x-2)=\square+4$ . בריבוע $\square$ כותבים ביטוי אלגברי.
הצבה אחת לא מוכיחה ששני ביטויים שווים תמיד (שאלה קצרה · מצוינות)
עומר רצה לבדוק אם הביטויים $5x-2(x-4)$ ו- $5x+8$ שווים לכל ערך של $x$ . הוא הציב $x=0$ בשניהם, קיבל $8$ בשניהם, וכתב: "הביטויים שווים תמיד".
מספר או ביטוי בריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה המשוואה $2(x-3)-(\square+1)=x-4$ . בריבוע $\square$ אפשר לכתוב מספר או ביטוי אלגברי.
משוואה בלי פתרון וישרים מקבילים (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונים שני ישרים: $y=2x+5$ ו- $2y=4x-2$ .
שני חישובים שלא נפגשים (שאלה קצרה · רמה א')
יואב ומיכל בוחרים אותו מספר. יואב כופל את המספר ב- $4$ , ומהתוצאה מחסר $6$ . מיכל מחסרת $1$ מהמספר, כופלת את התוצאה ב- $2$ , ולתוצאה מוסיפה…
אותו פתרון לכל מספר בריבוע (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $\square\cdot(x-3)=2x-6$ . בריבוע כותבים מספר.
מה שכתוב בריבוע קובע כמה פתרונות יש (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף כותבים בריבוע $\square$ מספר או ביטוי.
משוואה שאין לה אף פעם פתרון אחד (שאלה קצרה · מצוינות)
נתונה המשוואה $4(x-1)-2(x+\square)=2x+6$ . בריבוע $\square$ כותבים מספר.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (19)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

איזו משוואה אין לה פתרון? (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם ארבע משוואות: (1) $2y=y+6$ (2) $y+6=y$ (3) $y+6=6$ (4) $6y=y$
השלמת מספר: כל מספר או אף מספר (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונה המשוואה $2(x+4)=2x+\square$ , ובמקום המשבצת צריך לכתוב מספר.
פתרון אחד, אף פתרון או כל מספר (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם שלוש משוואות: (1) $4(x-2)+x=5x-8$ (2) $3x+7=3(x+2)$ (3) $2(x+5)=4x+2$
ה-x נעלם: האם אין פתרון? (שאלה קצרה · רמה ב')
מאיה פתרה את המשוואה $6x-(2x-5)=4x+5$ וכתבה: $6x-2x+5=4x+5$ $4x+5=4x+5$ $5=5$ "ה- $x$ נעלם מהמשוואה, ולכן אין…
כמה הצבות מספיקות? (שאלה קצרה · מצוינות)
שירה הציבה במשוואה $x^2+2=3x$ את המספר $1$ ואת המספר $2$ , ובשתי ההצבות השוויון התקיים. היא כתבה: "לכן כל מספר…
מהטבלה אל הנימוק: משוואה בלי פתרון (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה המשוואה $3(x-1)=3x+2$ .
כפל באפס: מאין הגיעו כל הפתרונות? (שאלת ביניים · רמה א')
נתונה המשוואה $2(x+3)=2x+10$ .
היקפים שתמיד שווים (שאלת ביניים · רמה א')
צלע של ריבוע היא $x+2$ ס"מ. למלבן יש אורך $x+4$ ס"מ ורוחב $x$ ס"מ. ( $x$ הוא מספר חיובי.)
מספר קבוע אחד שקובע הכול (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה המשוואה $4(x+2)-(x-3)=3x+k$ , האות $k$ מייצגת מספר שבוחרים מראש, והיא אינה הנעלם. הנעלם הוא $x$ .
מנויים לחדר כושר: מתי המחירים שווים? (שאלה מלאה · רמה ב')
בחדר הכושר השכונתי יש ארבעה מסלולי תשלום לחודש: מסלול א: דמי מנוי של $40$ ש"ח לחודש, ועוד $5$ ש"ח לכל כניסה.…
הקסם של המספר 21 (שאלה מלאה · רמה א')
נועם מציג לכיתה "קסם": "חשבו על מספר. הוסיפו לו $7$ . כפלו את התוצאה ב- $3$ . מהמספר שקיבלתם, חסרו פי $3$ מהמספר…
כרטיסי ביטויים: איזה זוג יוצר איזו משוואה? (שאלה מלאה · מצוינות)
על שישה כרטיסים כתובים ביטויים: כרטיס $A$ : $2(x+3)$ כרטיס $B$ : $2x+3$ כרטיס $C$ : $x+6+x$ כרטיס $D$ : $3(x+1)-x$ …
משבצת בתוך הסוגריים ומשבצת בסוף (שאלה קצרה · רמה א')
בכל משוואה צריך לכתוב מספר במשבצת.
ניסו כמה מספרים ולא הצליחו (שאלה קצרה · רמה א')
עידו וליה ניסו כמה מספרים במשוואות, ואף אחד מהם לא היה פתרון. שניהם כתבו: "למשוואה אין פתרון."
האחים לעולם לא יהיו בני אותו גיל (שאלה קצרה · רמה ב')
היום נועה בת $12$ ואחיה איתי בן $9$ .
שתי חברות מוניות שלעולם לא משתוות (שאלה קצרה · רמה א')
בחברת מוניות "דרך" משלמים $10$ ש"ח על התחלת הנסיעה, ועוד $6$ ש"ח לכל ק"מ. בחברת מוניות "נתיב" אין תשלום על…
אגף שמאל קבוע, משבצת באגף ימין (שאלת ביניים · מצוינות)
נתון הביטוי $4(x+2)-x$ .
שלוש הצבות שהצליחו, הצבה אחת שנכשלה (שאלת ביניים · מצוינות)
תמר בודקת משוואות בעזרת הצבות.
נרות דולקים: מתי הגובה שווה? (שאלה מלאה · מצוינות)
מדליקים באותו רגע שלושה נרות. כל נר נשרף באופן קבוע: נר א: אורכו $20$ ס"מ, ובכל שעה הוא מתקצר ב- $2$ ס"מ. נר ב:…