מבחן לדוגמה: משפטי החפיפה צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ - כיתה ח'

סרטטו את המשולש וסמנו את הזוויות השוות.

העבירו חוצה זווית, לזווית שבקודקוד $A$.

חוצה הזווית חותך את הצלע $BC$ בנקודה $D$.

סמנו זאת על הסרטוט.

רשמו שלושה זוגות של זוויות שוות, ונמקו את השוויונות.

הוכיחו את החפיפה: $\triangle ABD \cong \triangle ACD$.

מהו משפט החפיפה שעליו הסתמכתם?

הסיקו כי המשולש $ABC$ הוא משולש שווה שוקיים. נמקו.

משולש שני, $\triangle DEF$: $DE = 30$ ס"מ, $EF = 40$ ס"מ, $\angle E = 90^\circ$. לפי איזה משפט חפיפה הוא חופף למשולש הדוגמה? כתבו את החפיפה בסדר קודקודים נכון.

חשבו את אורך הצלע $AC$. מה אורך הצלע $DF$? נמקו.

משולש שלישי, $\triangle GHK$: $\angle H = 90^\circ$, $GH = 30$ ס"מ, $GK = 50$ ס"מ. חשבו את $HK$, והסבירו מדוע גם המשולש הזה חופף למשולש הדוגמה.

משולש רביעי, $\triangle MNP$: $\angle N = 90^\circ$, $MN = 40$ ס"מ (על הקיר), $NP = 30$ ס"מ (מתחת למדף). האם הוא חופף למשולש הדוגמה? אם כן, כתבו את החפיפה בסדר קודקודים נכון.

משולש חמישי, $\triangle RST$: $\angle R = 90^\circ$, $RS = 30$ ס"מ, $ST = 40$ ס"מ. גם בו יש צלעות של $30$ ושל $40$ ס"מ. האם הוא חופף למשולש הדוגמה? נמקו.

הסבירו למה אי אפשר להפעיל ישירות את המשפט ז.צ.ז על הנתונים כפי שהם.

חשבו את $\angle C$ ואת $\angle R$, והוכיחו שהמשולשים חופפים. כתבו טענת חפיפה בסדר הקודקודים הנכון.

באילו מהשרטוטים אפשר להסיק כי $\angle D = \angle B$? נמקו.

הוכיחו $FD=DE$

לפניכם 4 נתונים נוספים לשאלה. רק נתון אחד מביניהם יכול לאפשר הוכחה שהמשולשים $AFD$ ו- $ABC$ דומים, בחרו את הנתון המתאים והוכיחו דמיון בין שני המשולשים:

$\mathrm{i}$. $\angle B=\angle ACB$

$\mathrm{ii}$. $DE=DC$

$\mathrm{iii}$. $\angle DCE=\angle EDC$

$\mathrm{iv}$. $FD\parallel BC$

ללא קשר לסעיף ב' נתון:

משולש $DEC$ משולש שווה שוקיים ($DE=CE$)

$FE\parallel BC$

הוכיחו:

$\mathrm{i}$. $AC$ חוצה זווית $\angle BCE$

$\mathrm{ii}$. משולש $ABC$ הוא משולש שווה שוקיים.

כמה שליפות שונות של שלושה פתקים יש? כדי לספור, מיינו את השליפות לפי מספר פתקי הצלעות שבהן ($3$, $2$, $1$ או $0$), וספרו כל סוג.

התרכזו בשליפות של שני פתקי צלעות ופתק זווית אחד. כמה מהן מתאימות למשפט צ.ז.צ? כמה מהן אינן מבטיחות חפיפה, ולמה? תנו דוגמה לשליפה כזו.

הסבירו למה כל שליפה של פתק צלע אחד ושני פתקי זוויות מבטיחה חפיפה, גם כשהצלע אינה בין שתי הזוויות. כמה מכל $20$ השליפות מבטיחות חפיפה, וכמה לא?