שאלות פתוחות: משפטי החפיפה צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ - כיתה ח'

כאן מרוכזות שאלות פתוחות על משפטי החפיפה צ.ז.צ, ז.צ.ז ו-צ.צ.צ לכיתה ח': איזה משפט מתאים ומה חסר כדי לקבוע שמשולשים חופפים. בין השאלות: טבלה של זוגות משולשים עם שלושה שוויונות, מציאת x כך שמשולשים יהיו חופפים, כיסא מתקפל שהבורג שלו באמצע הרגליים, משולשים שנוצרים מישרים במערכת צירים וטענות על חפיפה שצריך להפריך או להוכיח. רוב השאלות ברמה א', ויש גם רמה ב' ומצוינות. בחרו שאלות למבחן, עם פתרון מלא ו-Word.

103 שאלותרמה א': 58רמה ב': 19מצוינות: 26

שאלה 1 · מי צודק: איזו זווית משלימה חפיפהשאלה קצרה · רמה א'

במשולשים ABCABCABC ו-DEFDEFDEF נתון: AB=DE=7AB = DE = 7AB=DE=7 ס"מ, AC=DF=5AC = DF = 5AC=DF=5 ס"מ.
נועה אומרת: "אם נדע גם ש-∠A=∠D\angle A = \angle D∠A=∠D, אז המשולשים בוודאות חופפים."
יואב אומר: "אם נדע גם ש-∠B=∠E\angle B = \angle E∠B=∠E, אז המשולשים בוודאות חופפים."

מי צודק: נועה, יואב, או שניהם? נמקו לפי מקום הזווית ביחס לצלעות הנתונות.

שאלה 2 · לפי איזה משפט המשולשים חופפיםשאלה קצרה · רמה ב'

בכל שורה בטבלה נתונים שלושה שוויונות בין שני משולשים.
זוגהמשולשיםהנתונים
1△ABC\triangle ABC△ABC ו-△DEF\triangle DEF△DEFAB=DEAB = DEAB=DE, BC=EFBC = EFBC=EF, AC=DFAC = DFAC=DF
2△KLM\triangle KLM△KLM ו-△RST\triangle RST△RSTKL=STKL = STKL=ST, ∠L=∠T\angle L = \angle T∠L=∠T, LM=TRLM = TRLM=TR
3△PQN\triangle PQN△PQN ו-△XYZ\triangle XYZ△XYZ∠P=∠Y\angle P = \angle Y∠P=∠Y, PQ=YXPQ = YXPQ=YX, ∠Q=∠X\angle Q = \angle X∠Q=∠X

זוג	המשולשים	הנתונים
1	$\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$	$AB = DE$ , $BC = EF$ , $AC = DF$
2	$\triangle KLM$ ו- $\triangle RST$	$KL = ST$ , $\angle L = \angle T$ , $LM = TR$
3	$\triangle PQN$ ו- $\triangle XYZ$	$\angle P = \angle Y$ , $PQ = YX$ , $\angle Q = \angle X$

א.

לכל זוג: לפי איזה משפט חפיפה המשולשים חופפים? נמקו בקצרה: איפה נמצאת הזווית הנתונה, או איפה נמצאת הצלע הנתונה.

ב.

כתבו את החפיפה של זוג 2 ושל זוג 3, כך שסדר הקודקודים יתאים.

שאלה 3 · שני ישרים, משולשים ומרובע במערכת ציריםשאלה מלאה · מצוינות

שאלה מקשרת בין אלגברה של קו ישר וגאומטריה
נתונים הישרים: y=x+4y=x+4y=x+4 ו- y=−x+4y=-x+4y=−x+4 במערכת צירים.
-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789-5-4-3-2-112345ABCO

א.

התאימו ישר לגרף מתאים וחשבו את שיעורי הנקודות AAA,BBB,CCC .

ב.

(1) האם המשולשים AOBAOBAOB ו-AOCAOCAOC חופפים? נמקו.
(2) הסבירו מדוע משולש ABCABCABC הוא משולש שווה שוקיים וציינו שני משולשים שווי שוקיים נוספים בסרטוט.

ג.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ד.

(1) מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודה BBB ומקביל לישר ACACAC. שרטטו ישר זה במערכת הצירים הנתונה וסמנו את נקודת החיתוך עם ציר ה- YYY באות DDD.
(2) מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה CCC ומקביל לישר ABABAB . שרטטו ישר זה במערכת הצירים הנתונה.

ה.

(1) מה תוכלו לומר על צלעות המרובע שהתקבל?
(2) האם המשולשים ABCABCABC ו- DBCDBCDBC חופפים? נמקו.
(3) האם קיימים משולשים חופפים נוספים בשרטוט שהתקבל? אם כן, ציינו שמותיהם.

ו.

(1) אורך הקטע ACACAC הוא 28. יוסי טוען שהיקף המרובע ABCDABCDABCD הוא 88.
האם יוסי צודק?
(2) כתבו לפחות 3 תכונות של המרובע ABCDABCDABCD. התייחסו בתשובתכם לצלעות, לאלכסונים ולזוויות.

שאלה 4 · מציאת נעלם כדי שתתקיים חפיפה לפי צ.ז.צשאלה קצרה · רמה א'

במשולשים ABCABCABC ו-PQRPQRPQR נתון:
AB=PQ=9AB = PQ = 9AB=PQ=9 ס"מ, ∠B=∠Q=48∘\angle B = \angle Q = 48^\circ∠B=∠Q=48∘.
BC=4x−3BC = 4x - 3BC=4x−3 ס"מ, QR=2x+7QR = 2x + 7QR=2x+7 ס"מ.

א.

לאיזה ערך של xxx המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ? מה אז אורך BCBCBC? נמקו מדוע זה המשפט המתאים.

ב.

במשולשים אחרים, GHJGHJGHJ ו-UVWUVWUVW, נתון GH=UVGH = UVGH=UV, HJ=VWHJ = VWHJ=VW ו-∠G=∠U\angle G = \angle U∠G=∠U. האם אפשר להסיק מכך שהם חופפים לפי צ.ז.צ? נמקו.

שאלה 5 · כיסא מתקפל: קטעים שחוצים זה את זהשאלה קצרה · רמה ב'

בכיסא מתקפל שתי רגליים, ABABAB ו-CDCDCD, מחוברות בבורג בנקודה OOO.
הבורג נמצא באמצע כל אחת מהרגליים: AO=OBAO = OBAO=OB ו-CO=ODCO = ODCO=OD.
הבד של המושב מתוח בין AAA ל-CCC, והרגליים עומדות על הרצפה בנקודות BBB ו-DDD.
ACBDO

הסבירו מדוע △AOC≅△BOD\triangle AOC \cong \triangle BOD△AOC≅△BOD, וציינו את משפט החפיפה. המרחק בין הרגליים על הרצפה הוא BD=42BD = 42BD=42 ס"מ. מה רוחב המושב ACACAC?

שאלה 6 · תמיד, לפעמים או אף פעם: מתי משולשים חופפיםשאלה קצרה · מצוינות

לפניכם ארבע טענות על שני משולשים.
הטענה
1אם לשני משולשים יש שתי צלעות שוות בהתאמה וגם היקף שווה, אז הם חופפים.
2אם לשני משולשים יש אותו שטח, אז הם חופפים.
3שני משולשים ישרי זווית, שבכל אחד מהם הניצבים הם 666 ס"מ ו-888 ס"מ, חופפים.
4משולש שצלעותיו 555 ס"מ, 666 ס"מ ו-777 ס"מ חופף למשולש שהיקפו 202020 ס"מ.

	הטענה
1	אם לשני משולשים יש שתי צלעות שוות בהתאמה וגם היקף שווה, אז הם חופפים.
2	אם לשני משולשים יש אותו שטח, אז הם חופפים.
3	שני משולשים ישרי זווית, שבכל אחד מהם הניצבים הם $6$ ס"מ ו- $8$ ס"מ, חופפים.
4	משולש שצלעותיו $5$ ס"מ, $6$ ס"מ ו- $7$ ס"מ חופף למשולש שהיקפו $20$ ס"מ.

קבעו לכל טענה אם היא נכונה תמיד, נכונה לפעמים או אף פעם לא נכונה. נמקו כל תשובה; לטענה שנכונה לפעמים תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה שבה היא לא נכונה.

שאלה 7 · חפיפה לפי ז.צ.ז בעזרת זוויות צמודותשאלה קצרה · רמה א'

KBCADE

נמקו מדוע המשולשים הנתונים חופפים.

שאלה 8 · איזה נתון משלים חפיפה לפי צ.ז.צשאלה קצרה · רמה ב'

בסרטוט שלפניכם נתון: AC=DFAC = DFAC=DF , ∠A=∠D\angle A = \angle D∠A=∠D
DEFABC

בעזרת איזו טענה מהטענות הבאות ניתן להוכיח ש- △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF
א. AB=DEAB = DEAB=DE
ב. AB=BCAB = BCAB=BC
ג. EF=BCEF = BCEF=BC
ד. DE=BCDE = BCDE=BC

שאלה 9 · שתי צלעות וזווית שאינה כלואה: האם יש סתירה?שאלה קצרה · מצוינות

המשולש ABCABCABC הוא משולש שווה שוקיים: AC=ABAC = ABAC=AB.
הנקודה DDD ממוקמת על המשך הצלע BCBCBC.
BCAD

א.

כתבו את כל השוויונות המתקיימים בין צלעות וזוויות במשולשים ABDABDABD ו- ACDACDACD.

ב.

המשולשים ABDABDABD ו- ACDACDACD אינם חופפים.
האם אין פה סתירה למשפט החפיפה על סמך שתי צלעות וזווית? נמקו את תשובתכם.

שאלה 10 · איזה זוג חופף לפי צ.ז.צשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם זוגות של משולשים.
זוג i\mathrm{i}iABCDEF
זוג ii\mathrm{ii}iiABCDEF
זוג iii\mathrm{iii}iiiABCDEF
זוג iv\mathrm{iv}ivABCDEF

אילו מהזוגות חופפים על-פי משפט חפיפה צ.ז.צ? נמקו.

עוד 83 שאלות על משפטי החפיפה צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

זוויות שוות במשולשים שנוצרים מקטעים נחתכים (שאלה קצרה · רמה ב')
נתון: $BE = CE$ , $AE = DE$
צ.צ.צ עם פרמטר: שני פתרונות (שאלת ביניים · מצוינות)
אורכי הצלעות (בס"מ) של שני משולשים:
באיזה שרטוט הזוויות שוות (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם שני שרטוטים. הנתונים כתובים מתחת לשרטוטים. שרטוט 1: נתון: $BE = DE$ , $AE = CE$ . שרטוט 2: נתון: $BE = CE$ , $AE = DE$ .
זווית צמודה ואז חפיפה לפי צ.ז.צ (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם שני משולשים: $ABD$ ו- $ACD$ . הנקודה $E$ נמצאת על המשך הקטע $AD$ . $\angle BDE = \angle CDE = 64^\circ$
תיכונים במשולשים חופפים: שתי דרכים (שאלת ביניים · מצוינות)
לפניכם סרטוט של שני משולשים חופפים $\triangle ABC \cong \triangle EDC$ . (החפיפה כתובה לפי סדר הקדקודים המתאימים). הנתונים שבסרטוט:…
מכסה לקופסת סוכריות (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם בסיס משולש של קופסת סוכריות: בסרטוטים הבאים מתוארים מכסים לקופסאות של סוכריות. מכסה א: מכסה ב: מכסה ג: מכסה ד: הנתונים שבסרטוטים:
מגרש מלבני: החלקים המרוצפים (שאלה קצרה · רמה ב')
על מגרש מלבני (בשרטוט המלבן מסומן באותיות $CDEF$ ) בנו מבנה בצורת טרפז שווה שוקיים (בשרטוט המבנה מסומן באותיות $ABCD$ ). את החלק שאינו בנוי…
כל המשולשים החופפים על קטע נתון (שאלה מלאה · מצוינות)
במערכת הצירים משורטטים המשולש $ABC$ שקודקודיו $A(-6,1)$ , $B(-2,1)$ , $C(-5,4)$ , והקטע $DE$ שקצותיו $D(1,-2)$ , $E(5,-2)$ .
בריכה ריבועית ומדשאות שוות שטח (שאלה קצרה · רמה א')
בסרטוט שלפניכם מוצגת תכנית של בריכה ושל מדשאות במרכז ספורט. הבריכה בצורת ריבוע, ומשני צדדיה יש מדשאות בצורת משולש כך ש $AB=CD$ .
גינה מלבנית ושני שבילים (שאלת ביניים · רמה ב')
גינה בצורת המלבן $ABCD$ : $AB = 20$ מ', $AD = 12$ מ'. הנקודה $E$ על הצלע $AB$ והנקודה $F$ על הצלע $CD$ , כך ש- $AE = CF = 5$ מ'. סללו שני…
שלוש הוכחות במשולש שווה שוקיים (שאלה מלאה · מצוינות)
הוכיחו:
גבהים מתאימים במשולשים חופפים (שאלת ביניים · רמה א')
נתון: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (לפי סדר הקודקודים). $AH$ הוא הגובה לצלע $BC$ במשולש $ABC$ , ו- $DK$ הוא הגובה לצלע $EF$ במשולש…
משולשי תמיכה למדפים (שאלה מלאה · רמה ב')
נגר מכין משולשי תמיכה מעץ למדפים. כל משולש מחובר לקיר בצלע אחת, והמדף מונח על צלע שנייה. משולש הדוגמה הוא $\triangle ABC$ : $AB = 30$ ס"מ (על…
חמש הוכחות על אלכסוני המלבן (שאלה מלאה · מצוינות)
הוכיחו:
מדידת רוחב נחל בלי לחצות אותו (שאלת ביניים · רמה א')
טל עומד בנקודה $A$ על גדת נחל, בדיוק מול עץ $T$ שעל הגדה השנייה ( $AT$ מאונך לגדה). הוא הולך לאורך הגדה $20$ מ' עד הנקודה $O$ ותוקע שם מקל.…
הנתון המוסתר בסרטוט (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף רוצים להוכיח ששני משולשים חופפים. שניים מהנתונים כתובים, והשלישי מוסתר: הוא לא כתוב, אבל הוא נכון בגלל המבנה של הצורה. כתבו מהו…
אנך ליתר, שיקוף ויחס שטחים (שאלה מלאה · מצוינות)
נתון: $\triangle ABC$ משולש ישר זווית ( $\angle B=90^\circ$ ) הנקודה $D$ על הקטע $BC$ , הנקודה $E$ על הקטע $AC$ $DE\perp AC$ הנקודה $F$ על המשך…
משולש חופף במערכת צירים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים שלפניכם משורטט משולש.
חוצה זווית הראש: השלמת המשפט (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש שווה השוקיים שלפניכם $AC=AB$ ו- $AD$ חוצה זווית $A$ . $\angle A = \alpha$ .
מה מסתתר בחצי של משולש שווה צלעות (שאלה מלאה · מצוינות)
במשולש שווה צלעות כל שלוש הצלעות שוות. בשאלה הזאת תגלו קשר בין הצלעות של משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו $30^\circ$ .
חוצה זווית וחפיפה לפי ז.צ.ז (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם סרטוט של שני משולשים. נתון: $BC$ הוא חוצה הזווית $ABE$ . $\angle C = \angle E$ $BC = BE$
גובה לבסיס שהוא גם תיכון (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם משולש שווה שוקיים. $AD$ גובה לבסיס $BC$ . זוויות $B$ ו- $C$ שוות זו לזו וגודלן $72^\circ$ .
נקודה על הגובה: שלושה זוגות חופפים ושטחים (שאלה מלאה · מצוינות)
נתון משולש שווה שוקיים $ABE$ . $EC$ אנך לבסיס $AB$ , $D$ נקודה על האנך $CE$ .
משולש חופף ברביע השלישי (שאלת ביניים · רמה א')
הוכחה מודרכת: שתי זוויות שוות בעזרת חוצה זווית (שאלה מלאה · רמה ב')
במשולש $ABC$ הזוויות שבקודקודים $B$ ו- $C$ שוות זו לזו.
משולשים שווי שוקיים חופפים ודמיון (שאלת ביניים · מצוינות)
נתון: $\triangle ABC\cong\triangle DBF$ המשולשים $ABC$ ו- $DBF$ שווי שוקיים ( $AB=AC=DB=DF$ ) הצלע $DF$ עוברת דרך הנקודה $C$ . הנקודה $E$ היא…
זגוגיות משולשות בחלון ויטראז' (שאלה מלאה · רמה א')
בחלון ויטראז' צריכות להיות שתי זגוגיות משולשות זהות, $\triangle ABC$ ו- $\triangle DEF$ . הזגג מדד:
צ.צ.צ ובאיזה סדר כותבים (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ : $AB = 6$ ס"מ, $BC = 8$ ס"מ, $AC = 5$ ס"מ. במשולש $PQR$ : $PQ = 8$ ס"מ, $QR = 5$ ס"מ, $PR = 6$ ס"מ.
דמיון במשולש ישר זווית עם תיכון ואנך (שאלת ביניים · מצוינות)
משולש $ABC$ ישר זווית, $\angle B=90^\circ$ $DE\perp AC$
תיכונים מתאימים במשולשים חופפים (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם סרטוט של שני משולשים חופפים: $\triangle ABC \cong \triangle RTS$ (החפיפה לפי סדר הקודקודים הרשומים). $D$ אמצע הצלע $AB$ , ו- $Q$ אמצע…
שורות ההוכחה התערבבו (שאלה קצרה · רמה ב')
נתון: $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$ . צריך להוכיח: $AC = DF$ . מישהו כתב את שורות ההוכחה, אבל הן התערבבו:
אמצע צלע, ישר מקביל ובחירת נתון לדמיון (שאלת ביניים · מצוינות)
נתון משולש $ABC$ . הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $AC$ $EC\parallel AB$ (בסרטוט: הנקודה $F$ על הצלע $AB$ , והקטע $FE$ עובר דרך $D$ .)
חוצי זווית מתאימים במשולשים חופפים (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם סרטוט של שני משולשים חופפים: $\triangle FGH \cong \triangle KLM$ (החפיפה לפי סדר הקודקודים הרשומים). $FS$ חוצה את הזווית $GFH$ , ו-…
שתי צלעות שוות - האם זה מספיק? (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ : $AB = AC = 5$ ס"מ ו- $\angle A = 90^\circ$ . במשולש $DEF$ : $DE = DF = 5$ ס"מ ו- $EF = 6$ ס"מ.
משולשים דומים, חופפים ושווה שוקיים באותו סרטוט (שאלה מלאה · מצוינות)
נתון: $AB \perp BC$ , $ED \perp BC$ .
תמיכות הגג של הבמה (שאלה מלאה · רמה א')
שאלה מסכמת אוריינית: (שאלה יישומית עם הקשר אלגברי) תכנון הגג של הבמה למופעים. שם הבעיה: תמיכות הגג של הבמה. בפארק עירוני חדש מוקם אזור…
שתי זוויות וצלע: מחשבים, מוכיחים, מעבירים (שאלת ביניים · רמה ב')
במשולשים $ABC$ ו- $DEF$ נתון: $AB = DE = 9$ ס"מ, $\angle A = \angle D = 40^\circ$ , $\angle B = \angle E = 75^\circ$ .
ירושת קרקע: חמש שאלות על חלוקה שווה (שאלה מלאה · מצוינות)
ירושת קרקע אב הוריש לארבעת בניו חלקת קרקע מישורית שצורתה משולש שקדקודיו הם $A$ , $B$ , $C$ , וציווה עליהם לחלקה ביניהם לארבעה שטחים שווים. כל…
משולשים חופפים במערכת צירים: זווית, קטע והיקף (שאלה מלאה · רמה א')
במערכת הצירים נתונות הנקודות: $K(0,12)$ $L(6,12)$ $M(6,7)$ $N(6,1)$ $P(1,1)$ .
חמישה כרטיסים: מתי הנתונים מספיקים? (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל כרטיס כתובים שלושה שוויונות בין המשולשים $ABC$ ו- $DEF$ (בהתאמה $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ ).
שלטים משולשים: איזו מדידה תספיק? (שאלה קצרה · מצוינות)
בבית מלאכה חותכים שלטים משולשים מפח. בשלט $ABC$ ובשלט $DEF$ מדדו: $AB = DE = 60$ ס"מ ו- $BC = EF = 40$ ס"מ. רוצים לבדוק במדידה אחת נוספת…
קטעים נחתכים ומקבילים: חפיפה, טבלה ושטחים (שאלה מלאה · רמה א')
בשרטוט נתון: $AC$ , $BD$ הם קטעים הנחתכים בנקודה $O$ . הנקודה $O$ היא אמצע הקטע $BD$ $AB\parallel CD$
איזו צלע להוסיף לחפיפה לפי ז.צ.ז (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ : $\angle B = 90^\circ$ . במשולש $DEF$ : $\angle E = 90^\circ$ . נתון גם: $\angle A = \angle D = 35^\circ$ .
שתי צלעות וזווית שאינה כלואה: אפס, אחד או שניים (שאלת ביניים · מצוינות)
במערכת צירים נתונות הנקודות $B(0,0)$ , $A(9,12)$ , $C(4,0)$ , $E(14,0)$ . יחידה על הצירים היא $1$ ס"מ.
ישרים מקבילים: דמיון, חפיפה ושטח מרובע (שאלה מלאה · רמה א')
נתון: הנקודה $F$ על המשך הצלע $AC$ של משולש $ABC$ הנקודה $K$ היא נקודת חיתוך של הצלעות $BC$ ו- $DE$ $AB \parallel DE$ $BC \parallel EF$ …
כרטיסי בנייה: מתי כולם בונים אותו משולש? (שאלה מלאה · מצוינות)
בשיעור קיבל כל זוג תלמידים כרטיס עם שלוש מידות של משולש $ABC$ , ובנה בעזרת סרגל, מחוגה ומד-זווית משולש לפי הכרטיס. המורה רוצה לדעת באילו…
משולש שווה צלעות וישר המקביל לבסיס (שאלה מלאה · רמה א')
נתון: משולש $ABC$ הוא משולש שווה צלעות. $BC \parallel ED$
כמה מהתיכונים הם גם גבהים? (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה זו בודקים: בכמה מהתיכונים של משולש התיכון הוא גם גובה, כלומר מאונך לצלע שאליה הוא יורד. (משולש שווה שוקיים: שתי צלעות שוות; משולש שווה…
חפיפה ליד הבסיס לפי ז.צ.ז (שאלה קצרה · רמה א')
בסרטוט שלפניכם המשולש $ABC$ הוא משולש שווה־שוקיים ( $AB = AC$ ). נתון: $\angle D_1 = \angle D_2$ $BD = CD$
שלושה פתקים מתוך שישה: מתי החפיפה מובטחת? (שאלת ביניים · מצוינות)
מורה רושמת על הלוח שני משולשים, $ABC$ ו- $DEF$ , וקובעת מראש: $A$ מתאים ל- $D$ , $B$ ל- $E$ ו- $C$ ל- $F$ . היא מכינה שישה פתקים. על שלושה מהם כתוב…
נקודה על חוצה זווית הראש (שאלת ביניים · רמה א')
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC$ ). $AD$ חוצה את הזווית $BAC$ . הנקודה $E$ נמצאת על חוצה הזווית $AD$ .
כמה דרכים להשלים חפיפה בריבוע (שאלה קצרה · מצוינות)
$KLMN$ הוא ריבוע: כל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות. הנקודה $P$ נמצאת על הצלע $NM$ , והנקודה $Q$ נמצאת על הצלע $LM$ . מעבירים את הקטעים $KP$ …
שתי נקודות על הבסיס במרחקים שווים (שאלת ביניים · רמה א')
נתון: $ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AC = AB$ ). $BC \perp AD$ , הנקודות $E$ ו- $F$ נמצאות על הישר $BC$ כך ש- $CE = BF$ .
חוצה זווית הראש, חפיפה ושטחים (שאלה מלאה · רמה א')
נתון משולש שווה שוקיים $ROT$ ( $RO=RT$ ). $RM$ חוצה זווית $TRO$ . הנקודות $G$ ו- $K$ נמצאות על השוקיים $RO$ ו- $RT$ בהתאמה כך שמתקיים $GO=KT$ .
שני משולשים שווי שוקיים עם קודקוד משותף (שאלה מלאה · רמה א')
נתון: $\triangle ABC$ משולש שווה שוקיים ( $AB=BC$ ) $\triangle DBE$ משולש שווה שוקיים ( $DB=BE$ ) $\angle ABD=\angle CBE$ צ"ל:
שני משולשים חופפים ומשולש שווה שוקיים ביניהם (שאלה מלאה · רמה א')
בשרטוט נתון: $AB=DE$ , $BC=EC$ $\angle ABC=\angle E$
ריבוע חסום במשולש ישר זווית שווה שוקיים (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש $ABC$ חסום ריבוע $PQRS$ . נתון: $\angle C=\angle B=45^\circ$ . הקודקוד $P$ על הצלע $AC$ , הקודקוד $Q$ על הצלע $AB$ , והקודקודים $S$ ו- $R$ …
מתי התיכון יוצר שני משולשים חופפים? (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $ABC$ הקטע $BM$ הוא תיכון לצלע $AC$ . בכל סעיף נתון נתון נוסף. קבעו אם המשולשים $ABM$ ו- $CBM$ חופפים בוודאות, אם הם בוודאות אינם…
האם תיכון יוצר משולשים חופפים? (שאלה קצרה · רמה א')
האם תיכון בכל משולש מחלק את המשולש לשני משולשים חופפים?
איזה נתון נותן חפיפה של שני חלקי התיכון? (שאלה קצרה · רמה א')
$BD$ הוא תיכון ב- $\triangle ABC$ .
המשכת התיכון: משולש חדש עם אותו שטח (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ הקטע $AM$ הוא תיכון לצלע $BC$ . ממשיכים את $AM$ מעבר לנקודה $M$ עד הנקודה $K$ , כך ש- $MK=AM$ , ומחברים את $K$ עם $C$ .
קטעים נחתכים: מי מתאים למי (שאלה קצרה · רמה א')
הקטעים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O$ . נתון: $OA = OD$ , $OB = OC$ .
איפה הזווית הכלואה? (שאלה קצרה · רמה א')
במשולשים $ABC$ ו- $DEF$ נתון: $AB = DE$ , $BC = EF$ , $\angle A = \angle D$ . עמית כתב: "המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ."
הצלע לא בין הזוויות הנתונות (שאלה קצרה · רמה א')
במשולשים $ABC$ ו- $PQR$ נתון: $\angle A = \angle P = 50^\circ$ , $\angle B = \angle Q = 70^\circ$ , $BC = QR$ .
תיקון לטענה על זוויות שוות (שאלה קצרה · רמה א')
על הלוח נכתבה הטענה: "כל שני משולשים שהזוויות שלהם שוות בהתאמה - חופפים." כדי לבדוק אותה לוקחים שני משולשים ישרי זווית ושווי שוקיים: במשולש…
מקבילים ואמצע: מאיפה בא כל נימוק (שאלה קצרה · רמה א')
$AC \parallel BD$ . הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $M$ , ו- $M$ היא אמצע הקטע $AB$ . לפניכם טענות של הוכחה, בלי הנימוקים:
חפיפה ראשונה נותנת נתונים לחפיפה שנייה (שאלת ביניים · רמה א')
במשולשים $ABC$ ו- $DEF$ נתון: $AB = DE$ , $BC = EF$ , $\angle B = \angle E$ . הנקודה $P$ על הצלע $BC$ והנקודה $Q$ על הצלע $EF$ , כך ש- $CP = FQ$ .…
שרשרת של שתי חפיפות: מהמשולש הנפרד אל החצי השני (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים המשולש $PQR$ והמרובע $KLMN$ , שהאלכסון $KM$ מחלק אותו לשני משולשים. נתון: $PQ = KL$ , $QR = LM$ , $PR = KM$ , וגם $KN = KL$ , $NM = LM$ .…
דוגמאות נגדיות במערכת צירים (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף בודקים טענה בעזרת משולשים שקודקודיהם נתונים במערכת צירים (יחידה $= 1$ ס"מ). סרטטו את המשולשים בעצמכם.
שני משולשים בפינות של ריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
$KLMN$ הוא ריבוע: כל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $LM$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $MN$ , כך ש- $LE=NF$ . מחברים את…
כל הזוויות שוות: האם המשולשים חופפים? (שאלה קצרה · רמה א')
במשולשים $KLM$ ו- $PQR$ נתון: $\angle K=\angle P$ , $\angle L=\angle Q$ , $\angle M=\angle R$ . עוד נתון: $KL=5$ ס"מ, $PQ=8$ ס"מ.
מלבן ואמצע הצלע התחתונה: משולש שווה שוקיים (שאלת ביניים · רמה א')
$KLMN$ הוא מלבן: כל זוויותיו ישרות, וצלעותיו הנגדיות שוות. הנקודה $P$ היא אמצע הצלע $NM$ . מחברים את $P$ עם $K$ ועם $L$ .
שני אנכים מקודקודי הבסיס אל המשכי השוקיים (שאלת ביניים · רמה א')
המשולש $KOL$ שווה שוקיים: $OK=OL$ , והבסיס שלו $KL$ . נתון: $\angle OKL=28^\circ$ . מאריכים את השוק $LO$ מעבר לנקודה $O$ , ומהקודקוד $K$ מורידים…
התאמה שמתיישבת עם הנתונים - האם זו חפיפה? (שאלה קצרה · רמה א')
למשולשים $KPQ$ ו- $KRS$ יש קודקוד משותף $K$ . נתון: $KP=KR$ , $PQ=RS$ . אין נתונים נוספים, ולא נאמר שהמשולשים חופפים.
הצלע במקום הנכון (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $PQR$ נתון: $\angle P = 95^\circ$ , $\angle Q = 40^\circ$ , $QR = 6$ ס"מ.
שני משולשים משני צדי ישר (שאלת ביניים · רמה א')
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ , $D$ נמצאות על ישר אחד, בסדר הזה. הנקודות $E$ ו- $F$ נמצאות משני צדי הישר. נתון: $AE \parallel DF$ , $AE = DF$ ,…
מודדים מרחק מעבר לבריכה (שאלה מלאה · רמה א')
בפארק יש בריכה. רוצים לדעת את המרחק בין שני עמודי תאורה, $A$ ו- $B$ , שעומדים משני צדי הבריכה. אי אפשר למתוח סרט מדידה מעל המים. עומר בחר…
נקודה פנימית במרחקים שווים מקודקודי הבסיס (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ ו- $\angle BAC=56^\circ$ . הנקודה $P$ נמצאת בתוך המשולש, כך ש- $PB=PC$ ו- $\angle ACP=22^\circ$ .
שני משולשים שווי שוקיים על בסיס משותף (שאלת ביניים · רמה א')
המשולשים $ABC$ ו- $DBC$ נמצאים משני צידי הצלע המשותפת $BC$ . נתון: $AB=AC$ ו- $DB=DC$ . עוד נתון: $\angle ACB=(x+15)^\circ$ ,…
הארכת הבסיס לשני הכיוונים (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ . מאריכים את הבסיס $BC$ לשני הכיוונים: מעבר ל- $B$ עד לנקודה $D$ , ומעבר ל- $C$ עד לנקודה $E$ , כך ש- $BD=CE$ . מחברים את…
שני קטעים שווים על צלע משותפת (שאלה קצרה · רמה א')
הקטעים $AC$ ו- $BD$ נמצאים מאותו צד של הקטע $AB$ . נתון: $AC=BD$ ו- $\angle CAB=\angle DBA$ . הקטעים $AD$ ו- $BC$ נחתכים בנקודה $P$ .
מהזווית שבין חוצי הזוויות לזווית הראש (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $PQR$ נתון $PQ=PR$ . $QM$ חוצה את $\angle PQR$ ( $M$ על $PR$ ), ו- $RN$ חוצה את $\angle PRQ$ ( $N$ על $PQ$ ). חוצי הזוויות נחתכים בנקודה…
קטע מקביל לבסיס ושלוש פעמים המשפט ההפוך (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון $AB=AC$ ו- $\angle BAC=44^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על השוק $AB$ , ודרכה עובר קטע $DE\parallel BC$ ( $E$ על $AC$ ). הקטעים $BE$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (10)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חוצי זוויות בטרפז ישר זווית (שאלת ביניים · מצוינות)
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $AD\perp AB$ ). חוצי הזוויות $\angle ABC$ ו- $\angle BCD$ נפגשים…
משולש שווה צלעות חסום במשולש שווה צלעות (שאלה קצרה · רמה א')
המשולש $ABC$ הוא משולש שווה צלעות. הנקודות $D$ , $E$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $AB$ , $BC$ ו- $CA$ , בהתאמה, כך…
שני קטעים בריבוע: שווים ומאונכים (שאלה קצרה · מצוינות)
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $CD$ , כך ש- $BE=CF$ . הקטעים $AE$ …
אמצע שוק בטרפז והמשך הבסיס (שאלה קצרה · רמה א')
$ABCD$ הוא טרפז ( $AB\parallel DC$ ). הנקודה $E$ היא אמצע השוק $BC$ . הישר $DE$ חותך את המשך הבסיס $AB$ (מעבר…
אנך לקטע מקודקוד הריבוע (שאלת ביניים · מצוינות)
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ . דרך הקודקוד $D$ מעבירים ישר המאונך ל- $DE$ , והוא חותך את המשך…
זוויות שוות ליד הקודקוד במשולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש שווה השוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) הנקודות $D$ ו- $E$ נמצאות על הבסיס $BC$ כך שהנקודה $D$ בין $B$ ל- $E$ ,…
התאמת קודקודים במשולשים חופפים לפי צ.צ.צ (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון: $AB=5$ , $BC=7$ , $AC=8$ , $\angle BAC=60^\circ$ . במשולש $DEF$ נתון: $DE=8$ , $EF=5$ , $DF=7$ .
זוויות שוות במחומש לפי חפיפה צ.צ.צ (שאלה קצרה · רמה א')
במחומש הקמור $ABCDE$ נתון: $AB=AE$ , $BC=ED$ , והאלכסונים $AC$ ו- $AD$ שווים זה לזה.
הצירים חותכים משולש ישר זווית (שאלת ביניים · מצוינות)
במערכת הצירים המשולש $PQR$ : $P(-3,-4)$ , $Q(5,-4)$ , $R(5,12)$ . הזווית $\angle Q$ ישרה. הצלע $PR$ מונחת על הישר…
שני משולשים על הרשת: צלעות, חפיפה ושטח (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת צירים נתונים המשולש $ABC$ : $A(1,1)$ , $B(6,1)$ , $C(3,5)$ , והמשולש $DEF$ : $D(-1,1)$ , $E(-1,6)$ ,…