מבחן לדוגמה: הוכחות בחפיפת משולשים: חלק משותף ומסקנות מהחפיפה - כיתה ח'

השלימו את טבלת ההוכחה:

הסיקו מהחפיפה שני שוויונות של צלעות. נתון: $PQ = 7$ ס"מ, $QR = 4$ ס"מ. מצאו את $RS$ ואת $SP$, וחשבו את היקף המרובע $PQRS$.

הסיקו גם: $\angle Q = \angle S$. עידו כתב לשורה הזאת את הנימוק "נתון". מה הטעות שלו, ומהו הנימוק הנכון?

הוכיחו: $\triangle ABC \cong \triangle BAD$. השלימו את הטבלה:

הסיקו מהחפיפה ששני מוטות החיזוק באותו אורך.

חשבו את אורך כל מוט. מחיר מטר של מוט ברזל הוא $45$ ש"ח. כמה עולים שני המוטות?

הוכיחו: $\angle CAB = \angle DBA$.

נתון: $\angle CAB = 37^\circ$. מצאו את $\angle CAD$ ואת $\angle AOB$.

סרטטו את המרובע על פי האמור, וסמנו בו את החלקים השווים.

הוכיחו כי $AB=AD$ וגם $CB=CD$.

הוכיחו כי $AB = AD$ וגם $CB = CD$, בכמה שיותר דרכים: לפחות בעזרת חפיפת משולשים ובעזרת משפט פיתגורס.

מצאו את משוואות הישרים שעליהם מונחות צלעות המרובע.

מצאו את היקף המרובע ואת שטחו.

הוכיחו: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ בשתי דרכים: לפי צ.צ.צ ולפי צ.ז.צ. בכל דרך כתבו אילו נתונים שימשו, ואיזה נתון לא היה דרוש.

יואב אומר: "הנתון $CB = CD$ מיותר, וגם הנתון $\angle BAC = \angle DAC$ מיותר. לכן אפשר למחוק את שניהם, ועדיין להוכיח את החפיפה." הסבירו את הטעות של יואב. מה נשאר אחרי שמוחקים את שניהם, ומדוע זה לא מספיק?

אלון כתב: "$PS = PS$ (צלע משותפת), $QS = RS$ (רואים בסרטוט), $\angle QPS = \angle RPS$ (נתון). לכן $\triangle PQS \cong \triangle PRS$ לפי צ.ז.צ." מצאו שתי טעויות בהוכחה של אלון. אחר כך הסבירו: אם במשולש כזה $PQ \ne PR$, למה המשולשים $PQS$ ו-$PRS$ אינם חופפים בהתאמה $P \leftrightarrow P$, $Q \leftrightarrow R$, $S \leftrightarrow S$?

הציעו נתון נוסף אחד על זוויות, ובנפרד נתון נוסף אחד על צלעות, כך שכל אחד מהם יחד עם $\angle QPS = \angle RPS$ יאפשר להוכיח $\triangle PQS \cong \triangle PRS$. לכל הצעה כתבו את משפט החפיפה, והסיקו מה נובע לגבי $PQ$ ו-$PR$, ולגבי $QS$ ו-$RS$.