מבחן לדוגמה: זווית חיצונית למשולש - כיתה ח'

מבחן במתמטיקה - כיתה ח'

זווית חיצונית למשולש

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · חוצה של זווית חיצונית: האם הוא מקביל לצלע?שאלת ביניים · רמה ב'

במשולש ABCABCABC נתון: ∠BAC=44∘\angle BAC=44^\circ∠BAC=44∘, ∠ABC=72∘\angle ABC=72^\circ∠ABC=72∘.
מאריכים את הצלע BCBCBC מעבר לנקודה CCC עד לנקודה DDD. הקרן CECECE חוצה את הזווית ∠ACD\angle ACD∠ACD.
44°72°BCAED

א.

חשבו את הזווית החיצונית ∠ACD\angle ACD∠ACD. נמקו.

ב.

חשבו את ∠ECD\angle ECD∠ECD. נמקו.

ג.

האם CE∥ABCE\parallel ABCE∥AB? נמקו.

שאלה 2 · שבילים בפארק: שתי זוויות חיצוניותשאלה מלאה · רמה ב'

בפארק יש שלושה שבילים ישרים שיוצרים את המשולש ABCABCABC.
השביל BCBCBC ממשיך מעבר לנקודה CCC עד לשער DDD, והשביל ABABAB ממשיך מעבר לנקודה BBB עד לקיוסק EEE.
מודדת מדדה: ∠BAC=58∘\angle BAC=58^\circ∠BAC=58∘, ∠ABC=47∘\angle ABC=47^\circ∠ABC=47∘.
58°47°??BCADE

א.

חשבו את ∠ACD\angle ACD∠ACD, הזווית בין השביל CACACA לשביל שמוביל לשער. נמקו.

ב.

חשבו את ∠ACB\angle ACB∠ACB בשתי דרכים: בעזרת התשובה לסעיף א, ובעזרת סכום הזוויות במשולש.

ג.

חשבו את ∠CBE\angle CBE∠CBE, הזווית בין השביל BCBCBC לשביל שמוביל לקיוסק. השתמשו במשפט הזווית החיצונית.

ד.

בדקו את התשובה לסעיף ג בדרך אחרת, בלי משפט הזווית החיצונית.

שאלה 3 · משוואה מזווית חיצונית: ומתי אין משולש כזהשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מאריכים את הצלע BCBCBC של המשולש ABCABCABC מעבר לנקודה CCC עד לנקודה DDD. הזוויות נתונות במעלות.
???BCAD

א.

נתון: ∠BAC=3x−5\angle BAC=3x-5∠BAC=3x−5, ∠ABC=x+17\angle ABC=x+17∠ABC=x+17, ∠ACD=5x−18\angle ACD=5x-18∠ACD=5x−18. מצאו את xxx ואת שלוש הזוויות של המשולש.

ב.

במשולש אחר נתון: ∠BAC=2x+40\angle BAC=2x+40∠BAC=2x+40, ∠ABC=x+30\angle ABC=x+30∠ABC=x+30, ∠ACD=4x+10\angle ACD=4x+10∠ACD=4x+10. פתרו את המשוואה המתאימה, ובדקו אם יש משולש כזה. נמקו.

שאלה 4 · זווית חיצונית שגדולה פי $2$ מזווית רחוקהשאלה קצרה · רמה א'

במשולש ABCABCABC מאריכים את הצלע ACACAC מעבר לנקודה CCC עד לנקודה DDD.
הזווית החיצונית ∠BCD\angle BCD∠BCD גדולה פי 222 מהזווית ∠ABC\angle ABC∠ABC. עוד נתון: ∠BAC=64∘\angle BAC=64^\circ∠BAC=64∘.
?ABCD

א.

מצאו את ∠ABC\angle ABC∠ABC, את ∠BCD\angle BCD∠BCD ואת ∠ACB\angle ACB∠ACB. נמקו כל שלב.

ב.

אילו שתי צלעות של המשולש ABCABCABC שוות זו לזו? נמקו. האם זה היה נכון גם אילו ∠BAC\angle BAC∠BAC הייתה שונה מ-64∘64^\circ64∘, אבל עדיין ∠BCD=2⋅∠ABC\angle BCD=2\cdot\angle ABC∠BCD=2⋅∠ABC?

שאלה 5 · זווית חיצונית של $12 4^{\circ}$ : כמה משולשים אפשריים?שאלת ביניים · מצוינות

במשולש ABCABCABC הזווית החיצונית ליד הקודקוד CCC היא 124∘124^\circ124∘. כל זוויות המשולש הן מספרים שלמים של מעלות.

א.

כמה אפשרויות יש לזוג הזוויות ∠A\angle A∠A, ∠B\angle B∠B, אם לא מבחינים בסדר? (למשל ∠A=50∘,∠B=74∘\angle A=50^\circ,\angle B=74^\circ∠A=50∘,∠B=74∘ ו-∠A=74∘,∠B=50∘\angle A=74^\circ,\angle B=50^\circ∠A=74∘,∠B=50∘ הן אותה אפשרות.) הסבירו איך ספרתם ומדוע לא פספסתם אף אפשרות.

ב.

באילו מהאפשרויות שבסעיף א יש במשולש שתי זוויות שוות? מצאו את כולן.

ג.

בונים משולש אחר, ובו זווית חיצונית שגודלה xxx (עכשיו xxx לא חייב להיות שלם). בין אילו ערכים יכול xxx להיות? הסבירו, ותנו דוגמה למשולש שבו xxx קרוב מאוד לכל אחד משני הגבולות.

שאלה 6 · חקירה: זוויות חיצוניות שוות והפרשיםשאלה מלאה · מצוינות

בכל הסעיפים בוחרים במשולש זווית חיצונית אחת ליד כל קודקוד.

א.

במשולש ABCABCABC הזווית החיצונית ליד AAA שווה לזווית החיצונית ליד BBB. הוכיחו ש-∠BAC=∠ABC\angle BAC=\angle ABC∠BAC=∠ABC.

ב.

שירה טוענת: "אם במשולש יש שתי זוויות חיצוניות שוות, אז גם הזווית החיצונית השלישית שווה להן." הראו בדוגמה ששירה טועה.

ג.

איזה תנאי על הזוויות החיצוניות מבטיח ששלוש הזוויות הפנימיות שוות? מה גודל כל זווית חיצונית אז? נמקו.

ד.

במשולש אחר הזווית החיצונית ליד AAA גדולה ב-26∘26^\circ26∘ מהזווית החיצונית ליד BBB. איזו מהזוויות הפנימיות ∠A\angle A∠A, ∠B\angle B∠B גדולה יותר, ובכמה? הוכיחו בלי לבחור מספרים.

ה.

היחס בין שלוש הזוויות הפנימיות של משולש הוא 2:3:72:3:72:3:7. מצאו את שלוש הזוויות החיצוניות וקבעו איזו מהן חדה. האם ייתכן משולש שבו היחס הוא 2:3:62:3:62:3:6 וכל זוויותיו מספרים שלמים של מעלות? נמקו.

שאלה 1 · חוצה של זווית חיצונית: האם הוא מקביל לצלע?שאלת ביניים · רמה ב'

שאלה 2 · שבילים בפארק: שתי זוויות חיצוניותשאלה מלאה · רמה ב'

שאלה 3 · משוואה מזווית חיצונית: ומתי אין משולש כזהשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 4 · זווית חיצונית שגדולה פי 2 מזווית רחוקהשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 5 · זווית חיצונית של 124∘: כמה משולשים אפשריים?שאלת ביניים · מצוינות

שאלה 6 · חקירה: זוויות חיצוניות שוות והפרשיםשאלה מלאה · מצוינות

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 4 · זווית חיצונית שגדולה פי $2$ מזווית רחוקהשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 5 · זווית חיצונית של $12 4^{\circ}$ : כמה משולשים אפשריים?שאלת ביניים · מצוינות