מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 9 מעל רמת בגרות

נסמן ב-$x$ את מספר הילדים בני 12. סכום הגילים הוא $10\cdot18+11\cdot12+12x=312+12x$, ומספר הילדים הוא $30+x$.

הממוצע נתון, ולכן:

בדיקה: $\frac{312+360}{60}=\frac{672}{60}=11.2$. בחוג 30 ילדים בני 12.

טעות נפוצה: לשכוח את $x$ במכנה ולכתוב $\frac{312+12x}{30}=11.2$. מקבלים $312+12x=336$, $12x=24$, כלומר $x=2$ ילדים. הילדים בני ה-12 נספרים גם במספר הילדים הכולל (בדיקה: עם 2 ילדים הממוצע הוא $\frac{336}{32}=10.5$, לא 11.2).

השכיחויות: 18 (בני 10), 12 (בני 11), 30 (בני 12, לפי סעיף א). הגדולה ביותר היא 30, של הגיל 12.

הגיל השכיח הוא 12.

טעות נפוצה: להסתכל רק על השכיחויות שכתובות בנתונים (18 ו-12) ולענות שהגיל השכיח הוא 10. יש לכלול גם את 30 הילדים בני ה-12 שנמצאו בסעיף א.

בחוג $18+12+30=60$ ילדים. הממוצע הוא 11.2, והגיל היחיד שגבוה ממנו הוא 12 (כי $11<11.2$).

טעות נפוצה: לכלול גם את בני ה-11 ולקבל $\frac{12+30}{60}\cdot100=70\%$. הגיל 11 קטן מ-11.2.

נסמן ב-$k$ את מספר הילדים שעזבו. סכום הגילים של הנשארים $672-12k$, ומספרם $60-k$:

בדיקה: נשארו 40 ילדים, $\frac{672-240}{40}=\frac{432}{40}=10.8$. עברו 20 ילדים.

(הגיוני שהממוצע ירד: עזבו ילדים בני 12, גיל שגבוה מהממוצע 11.2.)

טעות נפוצה: לחלק במספר הילדים הישן, $\frac{672-12k}{60}=10.8$, כלומר $672-12k=648$, ולקבל $k=2$. גם הילדים שעזבו יוצאים מהמכנה.

יש 8 כדורים, ולכל כדור אותו סיכוי לצאת. רק על כדור אחד כתוב 18.

טעות נפוצה: להשוות את הכדור המתאים לכדורים האחרים ולענות $\frac{1}{7}$ ("אחד מול שבעה"). המכנה הוא מספר כל הכדורים, 8.

"לכל היותר 22" פירושו 22 או מספר קטן מ-22.

המספרים המתאימים: 4, 9, 15, 18, 22 - חמישה כדורים מתוך 8.

טעות נפוצה: לקרוא "לכל היותר 22" כמו "קטן מ-22", להשמיט את הכדור 22 ולקבל $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

מספר מתחלק ב-5 כשספרת האחדות שלו היא 0 או 5.

בודקים כל מספר: $15=5\cdot3$, $35=5\cdot7$, $40=5\cdot8$ מתחלקים ב-5; 4, 9, 18, 22, 57 אינם מתחלקים ב-5.

שלושה כדורים מתוך 8:

טעות נפוצה: לחפש רק מספרים שמסתיימים ב-5, לפספס את 40 ולקבל $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

אחרי ההוספה יש בכד 9 כדורים. ההסתברות היא $\frac49$, ולכן מספר הכדורים שעליהם מספר שמתחלק ב-5 הוא:

לפני ההוספה היו 3 כדורים כאלה (15, 35, 40). לכן הכדור התשיעי מוסיף כדור כזה - המספר עליו מתחלק ב-5.

דוגמה: 50. בדיקה: $P=\frac{4}{9}$.

כל מספר שמתחלק ב-5 מתאים (למשל 10, 25, 50).

טעות נפוצה: לחשוב שהכדור שנוסף "לא משנה" את מספר הכדורים המתאימים ולכתוב מספר שאינו מתחלק ב-5, למשל 12 - ואז יש 3 כדורים כאלה מתוך 9, וההסתברות היא $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, לא $\frac{4}{9}$.

מספר האפורים שווה למספר הלבנים, ולכן נוח לחשוב על זוגות: זוג אחד (אפור ולבן) עולה:

מספר הזוגות: $9000:9=1000$, ולכן סך הכול $2\cdot1000=2000$ אריחים - 1,000 אפורים ו-1,000 לבנים.

(בדיקה: $1000\cdot5+1000\cdot4=9000$.)

טעות נפוצה: לחלק את העלות במחיר של צבע אחד, $9000:5=1800$ אריחים - חצי מהאריחים לבנים ועולים 4 שקלים.

שטח אריח אחד: $0.5\cdot0.5=0.25$ מ"ר.

השטח של 2,000 אריחים:

שטח הרצפה הוא 500 מ"ר.

טעות נפוצה: לכפול באורך הצלע, $2000\cdot0.5=1000$ מ"ר.

שטח מלבן = אורך × רוחב, ולכן האורך הוא השטח חלקי הרוחב:

אורך האולם הוא 50 מטר.

(בדיקה: לרוחב נכנסים $10:0.5=20$ אריחים, לאורך $50:0.5=100$, ובסך הכול $20\cdot100=2000$.)

טעות נפוצה: לחשב שלרוחב נכנסים $10:0.5=20$ אריחים, ואז $2000:20=100$, ולענות שאורך האולם $100$ מטר - זה מספר האריחים לאורך האולם, לא האורך במטרים ($100\cdot0.5=50$).

ההיקף של הרצפה:

העלות: מחיר למטר כפול האורך:

פס הגימור יעלה 1,440 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב רק אורך ועוד רוחב, $50+10=60$ מטר, ולקבל $60\cdot12=720$ שקלים - להיקף יש שני אורכים ושני רוחבים.

האלכסון הוא היתר במשולש ישר זווית שניצביו הם צלעות השלט:

מידות השלט 3 מ' על 1.6 מ', ושטחו $3\cdot1.6=4.8$ מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב את השטח עם האלכסון, $3\cdot3.4=10.2$ מ"ר. האלכסון אינו צלע של המלבן.

שטח השלט, $4.8$ מ"ר, הוא 25% משטח החזית. לכן שטח החזית (במ"ר) הוא השלם:

רוחב החזית 6 מ', ולכן גובהה:

גובה החזית $3.2$ מ'.

טעות נפוצה: לכפול ב-$0.25$ במקום לחלק, $4.8\cdot0.25=1.2$, ולקבל גובה של $\frac{1.2}{6}=0.2$ מ' - חזית נמוכה מהשלט שתלוי עליה.

25% משטח החזית הם $0.25\cdot19.2=4.8$ מ"ר (בדיוק שטח השלט הישן). השלט החדש באורך 4 מ' ובגובה $h$ צריך לקיים $4h\le4.8$:

הגובה הגדול ביותר האפשרי: $1.2$ מ'.

טעות נפוצה: לחשוב שהשלט החדש ארוך ב-1 מ', ולכן גובהו צריך לקטון ב-1 מ', $1.6-1=0.6$ מ'. השטח הוא מכפלה, לא סכום: עם גובה $0.6$ השטח $4\cdot0.6=2.4$ מ"ר, רק $12.5\%$ מהחזית - אפשר שלט גבוה יותר.

בין החודש השלישי לחודש השמיני עברו $8-3=5$ חודשים, והסכום גדל מ-$-480$ ל-$720$:

הסכום גדל ב-240 שקלים בכל חודש.

טעות נפוצה: לחסר בלי להתחשב בסימן, $720-480=240$, ולחלק ב-5 - ולקבל 48 שקלים לחודש.

מהחודש השלישי חוזרים 3 חודשים אחורה; בכל חודש הסכום היה קטן ב-240:

החוב ההתחלתי היה 1,200 שקלים, והתבנית היא $y=240x-1{,}200$ (בדיקה: $240\cdot8-1{,}200=720$).

טעות נפוצה: לחזור רק חודש אחד אחורה, $-480-240=-720$, ולענות שהחוב היה 720 שקלים.

בכל חודש נכנסים לקופה 240 שקלים מ-6 משפחות:

טעות נפוצה: לחלק את הסכום שבקופה בחודש השמיני, $\frac{720}{6}=120$ - זה סכום מצטבר אחרי כיסוי החוב, לא התשלום החודשי.

הכסף נאסף פעם בחודש: אחרי 17 חודשים יש $240\cdot17-1{,}200=2{,}880$ שקלים, ואחרי 18 חודשים $3{,}120$ שקלים.

כעבור 18 חודשים.

טעות נפוצה: להשתמש בחוב שבחודש השלישי כאילו הוא החוב ההתחלתי, $240x-480=3{,}000$, ולקבל $x=14.5$, כלומר 15 חודשים.

נסמן את דמי המשלוח ב-$s$.

8 ספרים בחנות: $8\cdot60=480$ שקלים. 8 ספרים באתר: $8\cdot50+s=400+s$.

דמי המשלוח הם 80 שקלים להזמנה.

טעות נפוצה: להוסיף את דמי המשלוח לכל ספר, $8\cdot(50+s)=480$, ולקבל $s=10$. דמי המשלוח משולמים פעם אחת להזמנה.

עבור $n$ ספרים: בחנות $60n$, באתר $50n+80$.

האתר זול יותר כאשר:

כל ספר באתר זול ב-10 שקלים, ודמי המשלוח (80) "מוחזרים" אחרי 8 ספרים בדיוק. ב-8 ספרים המחירים שווים, ולכן האתר משתלם יותר מ-9 ספרים ומעלה.

טעות נפוצה: לענות "מ-8 ספרים". ב-8 ספרים שתי הדרכים עולות אותו דבר (480 שקלים), כך שהאתר עוד לא משתלם יותר.

בודקים את שני המקרים:

אם הוזמנו פחות מ-10 ספרים, יש דמי משלוח: $50n+80=700$, ולכן $n=12.4$ - לא מספר שלם, וגם לא פחות מ-10. נפסל.

אם הוזמנו 10 ספרים או יותר, אין דמי משלוח: $50n=700$, ולכן $n=14$ - מספר שלם, ו-$14\ge10$. מתאים.

המועדון הזמין 14 ספרים.

טעות נפוצה: להתעלם מן המבצע, לפתור $50n+80=700$, לקבל $n=12.4$ ולעגל ל-12 ספרים. 12 ספרים במבצע עולים $12\cdot50=600$, לא 700.